按：如图，戴震意谓为次弧背，GF 为次弧背之矢。则：①GF=OFOG=OF…CB②BE=2BG=2OC③CB=OG=OF…GF④OC2=BG·GE=GF·GH 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广到圆内接长方形观察之。戴说甚确。4、《记》上：“有半弧弦（又名内矩分），有矢，求其圆径，半弧弦自乘，矢除之，加矢，为圆径。”
按：戴震术语中的内矩即弦，内矩分即弦之半。此处的圆径指直径而言，如图：已知a、s，求2R，则据圆内直线相交定理：a2=s（R…s＋R）a2=2Rs…s2 2R=as2＋s。
5、《记》上：“有矢，有圆径，求半弧弦，以矢为股弦较，于圆径减矢余为股勾和，和、较相乘，开方得勾，勾即半弧弦，倍之为全弦。”
按：用上图，设6 为直径，则据圆内直线相交定理a2s（d…s） a= sd s … 26、《记》上：“有半弧弦，有圆径，有矢。以半弧弦与圆半径相减得次弧背之矢，为勾弦较，相并为勾弦和，和较相乘，开方得股，股即次半弧弦（又名次内矩分），以减圆半径得矢”。
按：此题可按§4 图解之，已知a、d，求s，则s（d…s）=a2s2…sd＋a2=0 需解一元二次方程得s，戴震当时尚未识此。戴解此题的思路是用另§3 图解得的。设：DC 为s，勾BC 为a，OB 为R，则GF=R…a，GH=R＋aOC2=BG·GE=GF·GH=（R…a）（R＋a） OC= （ ）（ ） R a R a ＋ … OC=BG，即戴震所谓次内矩分、次半弧弦。S=R…OC=R…BG=R… （ ）（ ） R a R a ＋ …十分清楚，戴震的勾股第四、五、六术联系十分紧密，如从代数学角度看，是同一代数式设不同未知数解方程。戴震是从几何学去寻觅不同联系的。第六术中戴震还说：“方圆相函之体，用截圆之周径而函勾股和、较之率，四分圆周之一如之。规方之四隅而函圆之周，凡四觚（按：gū角）如之。因方以为勾股，函圆之半周，凡三觚如之。”
按：为解释此说，戴震共画了五个图，意思是说在正方形，任意四边形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形端点画圆截弧，前两者弧之和均为360°，后两者均为180°。这实际上是把多边形与圆联系起来探讨两者的关系，结论是，任意四边形内角和总是等于一个圆，任意三角形内角和总是等于半个圆。这无疑是正确的。
此外，在第六术中，戴震还举出了勾股术在工程上的应用，如测水平、测高度、测深度、测距离等。戴震十分讲究技术应用，基础理论和技术应用之间没有鸿沟，虽然它们的前提都挂上为解经服务，但科学和技术实际上都成了独立研究的对象。
7、《记》上：“有次矩分，求矩分，以积矩为实，次矩分为法，除之得矩分。”又说：“有矩分求次矩分，以积矩为实，矩分为法，除之得次矩分。”按：这实际上是戴震把长方形和圆联系起来考察，视长方形为圆内接长方形，矩分为边长，积矩为矩分和次矩分之积，实际上是长方形面积，“实”为被除数，“法”为除数。戴说甚明。戴震明确指出：“右即广袤互求之法”。“广”即宽度，“袤”即长度。
8、仍是工程测量问题，所谓“有矩分（边长）求径引数（工程测量中垂线随处所指引起大于圆半径的伸长部分）”。此外，戴震还讨论了圆内接正六边形边长等于圆半径，圆内接正十边形边长为：以该圆半径为股，该圆半径之半为勾，求其弦，然后得弦与勾之差即为正十边形边长。戴氏甚确。9、实际上是将两相似直角三角形作比较，用比例法解勾股问题，以解决工程测量中的求远处高度之类的问题（本来可以直接用三角函数，如H＝Csina，戴震化为勾股比例问题，原理同，但稍烦，戴震表彰中法，故有此算法）。《记》上：“凡勾股弦大小大互求，必得其三，则可以知其四，以原有之两矩定其率，今有之一矩，合而权之，异乘同除，得所求之一矩。”按：此话甚费解，试设两直角三角形相似，勾股弦分别为A、B、C 和a、b、c①戴云：“小股与大勾相乘，小勾除之，得大股。”解：如图则（式中小股与大勾相乘，戴谓之“异乘”，大勾与小勾相除，戴谓之“同除”，以下同此类推之。）
②戴云：“小勾与大股相乘，小股除之，得大勾”。解：如图：③戴云：“大股与小勾相乘，大勾除之，得小股”。解：如图：④戴云：“大勾与小股相乘，大股除之，得小勾”。解：如图：⑤戴云：“小弦与大勾相乘，小勾除之，得大勾”。解：如图：⑥戴云：“小勾与大弦相乘，小弦除之，得大勾”。解：如图：⑦戴云：“大弦与小勾相乘，大勾除之，得小弦”。解：如图：⑧戴云：“大勾与小弦相乘，大弦除之，得小勾”。解：如图：⑨戴云：“小弦与大股相乘，小股除之，得大弦”。解：如图：⑩戴云：“小股与大弦相乘，小弦除之，得大股”。解：如图：戴云：“大弦与小股相乘，大股除之，得小弦”。解：如图：戴云：“大0 股与小弦相乘，大弦除之，得小股”。解：如图：针对以上十二种情形，戴震认为：“割圆之法，尽于勾股互权”。它的实际用途仍在工程测量上，戴震举了“隔水测崖高”说明之。
10、除重申§6 介绍的第六术以外，以勾股法讲述三角函数的求解，戴震注指出：他所说的“矩分”指正切，“内矩分”指正弦，“径引数”指正割，“次矩分”指余切，“次内矩分”指余弦，“次引数”指“余割”。例如，戴震说：“有次内矩分，有内矩分，求矩分：以圆半径乘内矩分，内矩分除之，得矩分。”
按：先按戴震的中法解之，参用§3 的图。已知：BG，BC 则矩分tg∠BOC=R BCBG·这就是戴震关于矩分的值，因通常割圆时以半径作为单位长度看待，故tg∠BOC=BCBG=BCOC若以戴震注明西学术语解之，则戴震的说法可写作：tga＝R aa·sincos，通常以半径为单位长度，则tga＝sincosaa，甚确。至于戴震第二术中讲述的余切、正割、余割、正弦、余弦的求解法，情况类此。本条完全可以看出戴震中西互为表里的学术思想。值得重视。
11、勾股第十一术实际上是讲半角公式，《记》上：“求分弧内矩分及次内矩分：以矢与圆半径相乘，半之，开方，得分弧之内矩分。以内矩分与分弧之内矩分相乘，矢除之，得分弧之次内矩分。”
按：分弧指的一半，设DC 为S，半径BO 为R，∠BOD 为a，按题意为求解BE（分弧内矩分）的长度。亦即Rsina2号戴震的结论是：BE＝SR2今按半角公式证之：sina2=12… cos a在直角△BOC 中cosa=OCR=R SR…故sina2=12…… R SR =SR 2BE=RSR 2=RS2又：求解分弧的次内矩分，即求分弧的余弦OE，戴震公式为OE=BC BEs×（式中BC 为原弧内矩分），BE 为分弧内矩分，因直角△BCE 与直角△OEB 相似，BEDC=BOBD=OEBC即BES=RBD=OEBC故OE=BC BEs×证讫。
12、第十二术实际上是倍角公式。但表达全用中法勾股木。《记》上：“求倍弧内矩分及次内矩分，以内矩分与次内矩分相乘，倍之为实，（即内矩分乘倍次内矩分之数），径隅除之，得倍弧内矩分。若内矩分自乘倍之为实（即内矩分乘倍内矩分之数），径隅除之得倍弧之矢，减矢于圆半径，得倍弧之次内矩分。
按：据戴震术语，内矩分为正弦，次内矩分为余弦，设∠BOC 为a，则∠BOE=2a，据题求BE 和OE，显指求2a 的正弦值和余弦值。据戴震说法：公式当为：BE=2BC OCR·（式中R 表示径隅，亦即半径，直角三角形中的弦）
OE=R…2 2 BCR。现证明如下：直角△ BAE～直角△ BOC，故BDBA=BCAE=OCBEBE=BA OCBO·=2BC OCR·证讫一式。AE=BC BABO·=BC BCBO·2=2 2 BCROE=OA…AE=R…2 2 BCR证讫二式。戴震用中法来理解倍角的正弦和余弦是完全正确的。
13、第十三术戴震叙述了两角和的正弦公式。两角差的正弦公式、两角和余弦公式、两角差余弦公式。《记》上：“有大小两弧求其和弧、较弧内矩分及次内矩分，以大弧两矩分与小弧次内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半和；以大弧次内矩分与小弧内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半较。加半较于半和为和弧内矩分；减半较于半和，为较弧内矩分。”按：设大弧对应的角为α，小弧的角为β，则两弧之和或两角之和为α＋β。由术语内矩分正弧，次内矩分为余弧。由勾股值，戴震上述表达可写作：Rsin（α＋β）=R RRsin cos α· β＋R RRcos sin α· β=R（sinαcosβ＋cosαsinβ）故sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ。所谓较弧即指两角之差。戴震上述表达的另一部分可写作Rsin（α…β）=R RRsin cos α· β…R RRcos sin α· β=R（sinαcosβ…cosαsinβ）故sin（α…β）= sinαcosβ…cosαsinβ最后的等式表明，戴震表达的“两角和之内矩分”与两角和的次内矩分”、“两角差的次内矩分”与现代数学中的cos（α＋β）、cos（α…β）的等值式公内容完全一致。戴震的中法说明完全合乎西法。
戴震在此第十三术中，还举例说明两角和与两角差的正弦、余弦值的广泛使用。在戴震看来，源于实用的勾股，其原理不管多么复杂，当即还之实用，这是贯穿全书的数学应用思想。值得注意的是，戴震还讲了勾股割圆的历史发展，讲述了梅文鼎和薛凤祚成就和不足。戴震认为，古代割圆法之深入的论述（如本节十二术己是较深的割圆术）“书缺失传”，元时授时历有“弧矢割圆图”，但仅讲了“共半弧背之勾股，小大互求”。这无疑是勾股割圆的基础，可由此推广到一切复杂的使用，但很可惜，没有深入下去。戴震对这一基本原理十分重视，他认为：“实足以尽割圆之理，凡小大可互求者未有非共半弧背者也。”数学史的发展至于彼之晚近，戴震说：近人殚精此学，如梅定九、薛仪甫诸家兼通西洋之说，有八线表、平三角、弧三角等法，虽别立名目，于古之勾股弧矢不异。惜译书时欲张其说，凡一语可该，必衍为千百言，多其端绪，使观之者目眩而莫测其涯涘，又讳言立法之本出于勾股弧矢，转谓勾股不能御三角，三角不能御勾股。以梅氏考论之，详于平三角举要，论三角形用正弦，为比例之理，凡为图者十，而不能知其为“共半弧背之勾股”，其他大抵类此。
在戴震看来，梅文鼎并没有将西学的平面三角和中学的勾股割圆很好地结合起来，对此他很不满意。诚然，这里有些误会②。但戴震中西结合的学术思想是明确的。在具体表述上，科学的选择还是选择了西学的三角函数式。最根本的原因还是使用方便，尤其在进一步的深层连锁推理中，简明灵便的三角函数式较为优越，戴震的割圆术成了科学史研究的对象，但正象使用莱布尼兹微积分并不否定牛顿的奇勋那样，戴震的勾股术与三角学相比较，同样正确，有同等的功效，有同样的应用价值，只是没有形成系统配套的代数式构成的计算体系，仅限于这一点，或许可以说，戴震割圆术较之三角学还缺少点儿什么：那就是爱因斯坦所说的逻辑的简单性和数学的简单性原则。
14、实际上是讲正弦定理，戴震以西名注之云：“今名两角夹一边求余角余边，所知两角不夹所知之一边术同。”《记》上云：“有正弧及对正觚之距，有对所有一距之觚规限（按：度数），求其距：以对所求一距之觚规限内矩分乘对正觚之距，正弧内矩分除之，得所求之距。”
按：设圆内接三角形ABC 三边长为a、b、c，据戴震题意，已知即∠A，a， ∠B，求b 的长度。戴震的解法是：sinsinB aA·=b，可改写成：aA sin=bB sin，故谓戴勾股十四术是正弦定理。
15、仍为正弦定理。戴以西名注之曰：“今名两边一角，角有所对之边，求余角余边。”《记》上：“有正弧及对正觚之距，有对所求一觚之距，求其弧规限；以对所求一觚之距乘正弧内矩分，对正觎之距除之，得所求之觚规限内矩分（此即前术转而用之）。”
按：用上图，据题意，已知即∠A，a，b，求∠B。戴震的解法是：b Aasin=sinB，可改写成bB sin=aA sin，故谓戴勾股十五术仍为正弦定理。
① 《勾股割圆记》，见《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》② 梅氏《平三角举要》自序中说：“新历之妙，全在弧三角，然必先知平三角而后可以论弧三角，犹之必先知勾股而后可以论平三角也。乃举要义次为五卷。”梅氏《平三角举要》是我国数学家自著三角学。16、第十六术，戴以西名注之曰：“今名两边夹一角求余角余边，用梅氏切线分外角法。”此题并不复杂①。困难的是对戴震的中法解释加以证明。《记》上：“和两距一觚规限，所知之两距旁于所知之觚，其觚曰本觚，规限曰本觚（按：疑当为‘弧’字）。减本弧于圆半周，余为所求两觚规限之和（吴曰今名外角），半之为两弧之半和。以所知两距之较，乘两弧之半和矩分，两距之和除之，得两弧之半较矩分。以半和半较相加，得对大距之觚规限。若相减则得对小距之觚限。既知三觚两距，则如前第十四术得对本觚之距。”
按：如图，已经a，b，C，求c 即AB 的长度，∠A、∠B。今解法可用“两边夹一角求第三边”的公式（见前页注释）求出c，然后用十四术讨论的正弦定理求∠A、∠B。按戴震的说法，“两距之较”指b…a，“两弧之半和矩分” 即tgB C ＋2， “ 两弧之半较矩分” 即tgB C …2。由截说： 则（ ） b a tgB Ab a…＋＋2 = tgB A …2，（b…a）tgB A ＋2=（b＋a）tgB A ＋2经笔者用三角函数正切半角公式证明①，此式是成立的，故戴说是正确的。至于求∠B 和∠A，戴说：“以半和（按：指B A ＋2）半较（按：指B A …2）相加，得对大距之觚规限（按：即∠B 的值），若相减得对小距之觚规限（按：即∠A 的值）。”即∠B=B A ＋2＋B A …2，A=B A ＋2…B A …2从而求得∠B 和∠A，戴震这一解法是同义反复，由未知求未知，不可能得∠A 和∠B 的，因而是错误的。故戴震紧接着求∠B 和∠A 所说的：“既知三觚两距，则如前第十四术（按：正弦定理）得对本觚之距，”也就无法落实。正确的解法，显见应是首先利用已知a、b和∠C，用解斜三角形余弦定理法求得AB 即C，然后用正弦定理得A、B 两角。在《勾股割图术》中卷，戴震将天体视运动轨道黄道、赤道及其交角、经度、纬度问题化作球面勾股弦问题，即西法的球面三角。中卷的割圆术全部是解球面直角三角形，经用解球面三角形公式验证，戴震球面勾股弦解法完全正确。例《记》中十八术，戴云：有经度，有经弧，求纬度：以经度欢矩分乘经弧矩分，圆半径除之，得纬度次内矩分。按题意，设球面直角三角形ABC，弧为a、b、c，角A、B、C，C 为直角，已知经度A，经弧a，求解纬度B 的余弦。戴震的结论是cosB=ctgA tgaR·① 已知△ABC 中，边长a；b；夹角C，求边长c；则c2=a2＋b2…2abcosC证明：在球面直角三角形ABC 中，cosB=tga ·ctgc ctgc=ctgARcosB=tga·ctgAR=ctgA tgaR·《勾股割圆记》下卷全部是球面斜三角形的勾股弦解法，经验证，全部合乎球面斜三角形的三角函数解法。例如第四十五术，是球面三角的正弦定理，戴云：以对正觚之距内矩分，乘对所求一距之觚内矩分，正觚内矩分除之，得所求之距内矩分。此外，球面的勾股解法中由两弧夹一角求对弧，两角