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六是戴震还以岁差来解释古今星象的变化，这突出地表现在他的《记夏小正星象》一文中。以天象验证古代文献，这在现代科学，如考古学、历史学，年代学的研究中都是最重要的有说服力的研究方法。戴震研究了《大戴礼记》的《夏小正》记载的星象，并由此推断文献记载中相关的年代。例如夏代的五月，看上去太阳已运行到十二次的鹑火（即二十八宿坐标位置的柳、① 《戴震集》上海古籍出版社1980 版120 页。类似的说法又见于秦蕙田《五礼通考，观象授时门》第一卷戴震释《周髀算经》“北极璇玑”条。在释《周髀》“七衡六间”时说：“古未有黄赤道之名，但谓之衡。《虞书》之璇玑既为黄极，则玉衡以界黄道而定节气。黄道必别为侧络之衡，准黄极取正，赤道准赤极取正也。”见文渊阁本139—366，378 页。
① 《周髀北极璇玑四游解二》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版122 页。② 梅文鼎《历学疑问补》“再论斗建”。
③ 《安徽丛书》第六期《续天文略》卷中。
星、张），由于夏代正月的月建为寅，到五月月建为午无疑。戴震说：“大火中者，夏以建午之月。”故五月分恒星宿中的大火黄昏时处正中，与《尧典》日永星火，以正仲夏”（昼长夜短的夏至，大火黄昏时在南天正中，这时正是夏历五月）之文相应，戴震由此推断，《夏小正》所记“五月，日躔鹑火，故参朝觌（参宿早晨出现）”之文，与《尧典》所记之文的时间，“时之相去未远也”。从此可进一步推证《夏小正》的时代与《尧典》的时代相距不远，因为它们的星象近同。又如周代正月建子，到建未之月（周历八月，合夏历六月），“火星中而寒暑退”，戴震说，《春秋传》这句话的意思是：“建未之月暑退昏中，建丑之月寒退旦中。”①意思是说，周历八月（夏历六月，季夏）当头星（大火）在昏时（约18：00—20：00）处南天正中暑渐退转秋，周历二月（夏历十二月，季冬）大火在旦时（约5：00—7：00）才处南天中，寒渐退转春。戴震认为，这种情况仅在周代如此。凡星未成为当头星，则“凡星未中，左旋进而上”，已成为当头星，则“过中，左旋流而下”。《诗经》“七月流火”中的七月用夏历，大火过了六月分的“昏中”，七月分当然要西折下移了（也是恒星视运动，并非岁差引起下移，现代天文学已证明下移30。5 度），而《礼记·月令》称“季夏昏火中”正是说夏历六月分大火黄昏时当头顶正南方。正是从古历的记载，戴震认为，《春秋传》所载，《诗经》、《礼记·月令》，“皆周时数百年间也”。以上是《夏小正》与《尧典》比，《春秋传》与《诗经》、《礼记·月令》比，由历法同而见文献记载大体同时的星象，大体同时的文献依据。至于夏代与周代的相异之处，显然是岁差引起的。戴震说：“凡夏时日躔所在，与今差二次，与周时差一次，星之见伏旦昏中悉因之而异。”①由于岁差，作视运动的恒星（如大火，二十八宿）如同太阳一样，每年都有微量退行度数，日躔之所在夏与周相比差一次（按：次，十二次），夏与清乾隆相比差二次，恒星当然也退行。二十八宿，尤其是大火，在昏、旦时分居于当头星位置当然也就得“因之而异”。戴震从岁差引出的宏观相异的论断完全正确。
应该指出，戴震以岁差观察日行，又以岁差观察恒星的视运动，这是对运动普遍性的深刻把握，是天文学史上的重大进步。汉代以后，进步的学者一般都考虑岁差对日行的影响，但不考虑岁差对恒星的影响。戴震的《续天文略》指出：“汉已来不以岁差归之列宿右旋，而以岁差归之日躔不足，殊乖实验。”②七是对西方天文学成就的吸收。江永在解释岁差和回归年时，就已经引用西方天文学中的本轮、均轮之说③。如前所说，我国传统天文学中黄道视运动的学说，是极易吸收地球居中不动，太阳和行星绕地周行（均轮），且行星又在绕地周行的小圆（本轮）上作匀速运动的均轮、本轮之说的④。戴震和江永一样，都是从黄道视运动来接受本轮均轮之说的，与西方本土的本轮均轮之说已有一定的距离，可算是洋为中用的尝试。但应当注意的是，戴震在① 《记夏小正星象》，见《戴震集》上海古籍出版社1980 版123 页。这句话见于《左传·昭公三年》，参见《十三经注疏》2030 页下。
① 《记夏小正星象》，见《戴震集》上海古籍出版社1980 年版123 页。② 《安徽丛书》第六期《续天文略》卷上7 页。
③ 《江慎修先生事略状》，《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版226 页。④ 见本书第一章第三节。
古天文学和外来天文学之间，他立足于传统的古天文学，而以当时的外来说为之补充注释，这与数学上以勾股割圆法为中心，而又以西学三角学为之注的精神是一致的。与本轮均轮说原本的精神一样，戴震用以解释太阳系的运动轨道问题。首先是日循而行的黄道，考虑到岁差的影响，戴震和江永一样，设想日循黄道以外，还有一个形成日行之盈缩迟疾，高下逆顺变化的“左旋之规”，把它叫本轮。应该说，江、戴指出的日循黄道中的高下逆顺、以成盈缩迟疾的运动是存在的，其本质是日、月、行星对地球的引力引起地轴进动（形成岁差的根源）而造成的视运动位置差。戴震说：“日躔黄道，其高下逆顺，以成盈缩者曰左旋之规。（今步算家名‘本轮’，下半周去地近为卑，极近为最卑，又名‘高冲”；上半周去地远为高，极远为最高；本轮之左右远近高卑适中为中距。）中其规属于黄道。循黄道而右，所谓平行者此也。凡三百六十五日小余不及四分日之一适终其道，谓之经岁。（名‘平岁实’，亦名‘恒岁实’。）其周曰右旋之轨。（名‘均轮’，以近本轮心为最近。）中其规属于左旋之规。随之而左，（名引数。）岁不及一终，（今步算家谓差数为最卑岁行，又剖之为最卑日行。）积至五十余年而差及一度。”①至于月亮循月道运行也有迟疾变化，其根源也是岁差的关系。古代曾经把这种日月迟疾看作人事攸关。《宋书·律历志》载魏明帝景初元年杨伟上《景初历表》说：“凡五星行天，迟疾留逆，虽大率有常，至犯守逆顺，难以术推。日之行天，犹有迟疾，况五星乎？唯日月之行天有常，进退有率，不迟不疾，不外不内，人君德也。”戴震为唯物地解释月球运行的迟疾变化，也设计了本轮和均轮，他说：“月道（今名‘白道，），其高下之规法，以生迟疾者曰左旋之规。（名‘本轮’，其 最卑名‘入转’，最高名‘月孛’。）中其规属于月道。循月道而右，凡二十七日近少半日平行终其道。其周曰右旋之规。（名‘均轮’）中其规属于左旋之规。随之而左，（名‘转周’）不及一终而差数生焉。（今步算家谓差数为最高行，又名‘月孛行’）。三千二百三十余日差数之积满一周。”①戴震是可以不借助于本轮、均轮之说来说清日月盈缩迟疾（可用岁差），从而同古历学中的唯心主义彻底划清界限的。本轮、均轮之说本身是错误的，以错误的理论来解释正确的看法，大可不必，所幸戴震正面阐释古天文学，仅用本轮、均轮为之注，应该说，戴震在古历研究中采用西土本、均轮之说，完全是形而上学的借鉴，但它毕竟是一次洋为中用的尝试，其精神仍应肯定。
八是对传统天文学的改造，为创建近代古天文学和天文学史的研究作了巨大努力，《古今岁实考》、《续天文略》是这一努力的成功之作。宋代郑樵（1103—1162）《通志》录《步天歌》，兼及其注文，继以《晋书》所列星官名“天津”的起没、十二次、分野，又参以《隋书》所列七曜，辑为《天文略》，虽郑氏声称不语休祥，但仍不免涉及灾祥休咎，关于十二次，因不知岁差，仅存各家之说，无由取舍和论其得失，至于星宿分野，因缺乏古代地理知识，也无从是正。戴震认为，“天文一事，樵所不知，而欲成全书（按：指《通志》全书），固不可阙而不载，是以徒袭旧史，未能择之精，语之祥也。”②而戴震对古天文研究的构思是：“今更为目十：曰星见伏昏旦中，曰① 《迎日推策记》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版115 页。① 《迎日推策记》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版至116 页。② 《安徽丛书》第六期《续天文略序》。
列宿十二次，曰星象、曰黄道宿度，曰七衡六间，曰咎景短长，曰北极高下，曰日月五步规法，曰仪象，曰漏刻。或补前书闷遗，或赓所未及，凡占变推步不与焉。考自唐、虞以来，下迄元、明，见于六经史籍有关运行之体者，约而论之著于篇。”①完全以唯物主义的科学态度审视传统天文学，总结其战果，构思其学术体系，从而写出了体现近代科学水平的古天文学教科书：《续天文略》。至于该书的主要成就，前面叙述的八个方面在该书都有所体现。① 《安徽丛书》第六期《续天文略》。
三、《勾股割圆记》的主要成就
《勾股割圆记》及其托名吴思孝的注是戴震最完整、篇幅最长的数学著作，清秦蕙田《五礼通考》全载其上中下三篇，乾隆三十八年（1773）曲阜孔继涵刻《算经十书》时，亦收入《策算》和《勾股割圆记》②。恩格斯曾说：“天文学只有借助于数学才能发展，因此也开始了数学的研究。”③从科学史的发展看确实如此，有趣的是，王锡阐、梅文鼎、戴震的数学研究都是为农业生产“绝对需要它”①的天文学服务，为解决天文学问题而系统研究数学的。托名吴思孝的戴震自序说：“《勾股割圆》之书三卷，余友戴君东原所撰，戴君之于经，分数大端，各究洞源委，步算其一也？？今夏初，戴君以所为《勾股割圆记》示余，读其文辞，始非秦汉已后书，其于古今步算之大全，约以二千言而尽，可谓奇矣。”②可见《割圆记》的写作目的和内容都与古代天文研究有关。
数学是在世代系列的人类社会实践中逐渐累积和发展起来的，它始终体现了运动的最普遍的本质：“吸引和排斥这一古老的两极对立。”③数学研究，当然能涉及“普遍联系”的辩证关系。戴震的《勾股割圆记》比相同的数学对象的其他研究还多了一层，除了勾股定理在种种较为简单的和最为复杂的等式和不等式关系中的运用以外，还有中法表达和西法表达的相同和不同含义的处理，戴震的这一名著，十分正确、贴切地处理了这些有“普遍联系”的关系，形成了一个和谐的整体。从“普遍联系”去看全书内容，有两个大的方面，一是有关勾股弦关系的基本概念的解释，二是勾股应用割圆术。（一）基本概念的解释要点1、《记》上：“割圆之法，中其圆而觚分之，截圆周为弧背， （按：gèng 连接两端）弧背之两端曰弦，值弧与弦之半曰矢。”按：这里给弧、弦、矢下了定义。其含义为：圆内两直径相交，截成两两相等的弧，连接弧的两端就是弦，过弦作垂直平分线交于弧叫矢。如任取圆周之一弧而连接其两端成一弦，原理同。
② 《勾股割圆记》有种种版本，《五礼通考》本分上中下三篇共2417 字，有图注和托名吴思孝的补注。段玉裁经韵楼本三篇共2268 字（四部丛刊本《戴东原集》依此）。孔继涵在乾隆四十二年（1777）刊《戴氏遗书》，将《割圆记》四篇作为《原象》的五、六、七、八（《原象》的一至四为“璇玑玉衡”、“中星”、“土圭”、“五纪”，段玉裁曾谓此四篇合《割圆记》三篇，再加《迎日推策记》为《原象》，但经韵楼本又将《割圆记》三篇另列，不与《原象》四篇同卷，这与《戴氏遗书》本大不同），共2785 字（《昭代丛书续篇补》依此）。微波谢本三卷，共2735 字，为安徽丛书第六期《戴东原先生全集》所本，有吴思孝注和图注，本书对《勾股割圆记》的研究以安徽丛书本为据。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版162 页。
① 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
② 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》托名吴思孝序。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
① 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》，本节有关戴震数学资料未注出处的皆见该书。并将《勾股割圆记》简称为《记》。
2、《记》上：“弧矢之内成相等之勾股二，半弧弦为勾，减矢于圆半径，余为股。勾股之两端曰径隅，亦谓之弦，勾股之弦得圆半径也。”
按：径隅为《周髀算径》的旧名。承1，将弦的中垂线交于圆之两端，形成以圆心为顶点的两全等直角三角形，该直角三角形的弦等于圆半径，戴称之为径隅。戴震认为，此原理对求解天球黄道赤道夹角等极有用，由弧长求勾股，由勾股求弧长和矢（按：均可，因半径为定值），由弧、矢而承勾股求出整个圆面，“步算之能事毕矣”。天文推步在勾股割圆中得到说明。3、在注释本中，戴震详细介绍了圆周率的计算方法和历史。
4、《记》上：“勾股弦三矩方之，合勾与股三方适如弦之大方。”
按：戴震在注文中详细介绍了溯自《周髀算经》中的勾股定理，今之表达甚简：设勾股弦为abc，则c2=a2＋b2以上由勾股割圆中的一些基本概念（名称）、定义的确定、圆周率和勾股定理的介绍，明确了戴震研究勾股割圆术的基本点。所谓“勾股割圆”实际上是指直角三角形与圆面（即过圆直径的圆内接直角三角形）的同一性关系的处理。以上基本点无疑是处理这一同一性关系的数学基础。应该说，把这种带有自然辨证哲学特点的同一性关系放到门类科学中去看，它将是十分复杂的，戴震研究的勾股术就是这种同一性在数学上的复杂的具体表现，透过数学研究，我们看到的正是著作者的科学头脑，辩证思路和逻辑方法。（二）勾股割圆术的应用要点的分析1、《记》上：“有勾有股求其弦：勾自乘、股自乘，并之开方得弦。”
按：此即用公式：c= a b 2 2 ＋2、即用公式：b= c a 2 2 …3、即用公式：a= c b 2 2 … 对此，戴震还看到与第二术的联系。《记》上云：“凡曰勾曰股者其名可互易，故与第二术同。”
在第三术中，戴震又说：“减矢于圆经，余为股，弦和矢恒为股弦较（凡两数相并为和，相减余为较），和、较相乘为勾之方。
按：设：圆内以圆心为顶点的直角三角形勾、股、弦为a、b、c，矢为S，半径为R，则：b＝R 一S，S（矢，又称股弦较）＝c 一b＝R 一b，（R＋b）（R 一b）＝a2 亦即a2=（c＋b）（c…b）。其实，此定理还可推广成：圆内两任意直线相交，各直线被圆和交点切成的两线段之积相等。戴震其时尚未识此。在第三术中，戴震说：“减勾于圆半径，余为次弧背之矢。倍股为次弧弦。减次弧背之矢于圆径，余为勾。弦和其矢为勾弦较，和，较相乘为股之方。”
按：如图，戴震意谓为次弧背，GF 为次弧背之矢。则：①GF=OFOG=OF…CB②BE=2BG=2OC③CB=OG=OF…GF④OC2=BG·GE=GF·GH 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广�