宙的边界）。阿里斯塔克斯坚信地球是绕着太阳转的，他的这个想法可是比哥白尼（Copernicus）的想法早了很多年。根据阿里斯塔克斯的观察和计算，阿基米德先假定一个球（称它为S），这个球的半径是地球到太阳的距离；然后他假定下式成立：
通过这个式子，他得到宇宙的直径是100 000 000 000 000或者说是1014斯忒德（计算过程中对阿里斯塔克斯的数据进行了修改）。为此宇宙的体积就是以一个斯忒德为直径的球体积的（1014）3=1042倍，以一个斯忒德为直径的球可以容纳1021个细沙粒，所以如果宇宙中充满细沙粒，那么这个宇宙中细沙粒的数量就将是1021×1042=1063。
“盖隆陛下，我推想，”阿基米德说，“对那些没有研究过数学的人来说，所有的这些看起来好像是难以置信的，但是对于一个数学家，这个证明将是令人信服的。正是出于这个原因，我想你花费时间来学习这个东西将是值得的。”
在20世纪的40年代，两个纽约人（New Yorkers）估计科尼岛（Coney Island）上细沙粒数目应该在1020数量级；现代科学估计，在我们现在意义上的宇宙内含有的所有小粒子（比细沙粒要再小很多的粒子）的数量应该在1072到1087数量级，我们现在观念上的宇宙可是比阿基米德所说的宇宙要大的多的，考虑到这些，你将不得不说，阿基米德的估计并不全是那么糟糕的。
这些是希腊人洞察力引人入胜的应用，他们通过类比周围世界来理解遥远的世界。但是，当你意识到阿基米德当时并没有10的乘方这样表达方便的符号，所有的一切都是使用他们那个时代意义上的零来完成的，这些会使你感到更加引人入胜和壮观。
“阿基米德为何错过发明这样方便的符号呢？”卡尔•；弗雷得希•；高斯（Karl Friedrich Gauss 最伟大的数学家之一，对阿基米德很崇拜）这么问道。在19世纪，他这么写道：“如果阿基米德发明了这样方便的符号那该多好啊！现在的科学不知道要发展到什么程度了！”但是，事实是阿基米德一直致力于数的名字而不是数字，希腊最大的数字的名字是“米瑞亚德（myriad）”；它表示10 000。这个名字可以让它表达一个米瑞亚德的米瑞亚德（108）这样的数字，随后，他发明了一个新的术语，任何一个小于108的数字（包括108本身）称为一个第一级的数。
然后，他用一个米瑞亚德的米瑞亚德（108）作为单位来表达第二级的数，因此，第二级的数的最大值就达到了1016（我们可以这么说是1016，但他不能这么说）；接着，把1016看作是第三级的数（该级的数的最大值是1024）的单位，等等依次这样类推下去；那么，那个不可思议的巨大数字1063就是一个第八级的数。
但是阿基米德并没有停在那里，事实上，他刚刚开始。阿基米德留下了这个充满了沙子的宇宙，把自己也减小到看作一粒细沙，他在数量级上增加数量级，甚至把数量级达到了108数量级，这个数字的巨大是惊人的，从（100 000 000）99 999 999到（100 000 000）100 000 000就足够包含所有的数字。
我们做到了吗？几乎不能。所有的这些数量级（最大的数量级是那个起了名字的108）组成第一周期数（0（100 000 000）100 000 000之间的数——译者注）。如果你看到阿基米德自己的话，那么你的思维就会不自觉地离开现在讨论的问题，感觉就好像是艾丽丝（Alice）掉到了仙境里面；嘴里还说着：“猫吃蝙蝠吗？蝙蝠吃猫吗？”这样不知所云的话。阿基米德是这样说的：
把第一周期数的最后一个数字看作是第二周期数的第一级数的单位。接着想下去，把第二周期数的第一级数的第米瑞亚德的米瑞亚德（108）个数作为第二周期数的第二级数的单位。
也许，盖隆国王读到这里读不下去了，所以，他也没有能看到阿基米德的最终结论：
让这个进程继续下去，以第米瑞亚德的米瑞亚德周期数的第米瑞亚德的米瑞亚德级数的单位为单位，达到这个单位的米瑞亚德的米瑞亚德倍
简单的说，用我们现在的符号表示，数字的值达到了1080 000 000 000 000 000。当然，在他的观念里的宇宙或者我们现代的宇宙中都不可能有这么多的细沙粒来对应这个数字；如果我们一秒钟数一个数的话，甚至从宇宙大爆炸开始到现在也依然没有足够的时间来数完这些数，因为阿基米德的第一周期数的最后一个数是1的后面加上800百万个零，而这个数（1080 000 000 000 000 000）又是它的108倍。
如果要使那些没有意义的历史变得有意义，我们就需要思考有些表达方法为什么没有被采用，在这个过程中阿基米德做了什么？零为什么没有出现在他的发明中呢？一些人说他的《沙粒计算表》是旅行的力量，你可能认为这完全是希腊人在嬉戏：因为柏拉图（Plato柏拉图希腊哲学家）说我们是上帝的玩物，所以我们应该玩一些高尚的游戏——阿基米德的非凡的工作，由于没有任何可以想象得到的使用价值，所以一定是一个百无聊赖的谐谑曲。他的目的是想贬抑一下国王呢，还是想享受自己在研究大数上超过他的前辈的那种荣耀呢？举个例子，阿基米德的父亲菲迪亚斯（Phidias），在那个时代他已经宣称太阳的直径是月亮直径的12倍，而阿基米德断定这个数字应该是30倍（他也许很乐意知道这个倍数实际上应该是400倍）。阿里斯塔克斯在他的一个计算中使用了一个令人畏惧的数字71 755 875，在这方面阿基米德向前跨了一大步。就像我们的孩子们比赛谁能记得最大数字那样，在阿基米德时代，数学家之间是不是存在着这一类竞争呢？阿基米德同时代的艾派劳尼斯（Apollonius）似乎就用自己的一套给大数字命名的方法对阿基米德的《沙粒计算表》做出了回应。随后，阿基米德计算了一个问题，这个问题的答案是如此的大，如果我们写出它的数字的话，那将占据47页的空间（用阿基米德的方法，这个答案应该是：“7个单位的第3米瑞亚德又5819级数，7602米瑞亚德又7140个单位的第2米瑞亚德又5818级数……”）。当你了解到数学家依然是这样相互促进，并且这种促进会无限下去，你会感觉很好玩——或者你被搞糊涂了。
还有更深奥的，难道阿基米德是在向我们展示一种如何尽可能具体的思考很大数字的方法？给了我们一种分级思考数字的方法，而不是面对整个巨大的数字，这种方法使我们能够把无穷大和大数字区分开来。正如我认识的一个数学家最近说的那样：“大数字确实很大。”
我们这儿看到的在语言和思想之间相互促进的一幕并没有导致零的出现，相反，这种促进故意的避免了这个方便符号的出现吗？在《沙粒计算表》的开始部分，阿基米德说了这样一段奇妙的话：
有一些人……认为还没有这样的数字被命名，这些数字足够的大，以至于可以超过地球上任何一个地区的细沙粒。但是，我将试图向你们展示……这些被我命名了的数字……一些超过……能填满整个宇宙的细沙粒的数字。”
为什么重点落在了命名上？想一下圣•；保罗（St Paul）写在以非所书（Ephesians，基督教《圣经·新约》中的一卷）上的话，他这样说道：
每一个被命了名的名字，不管是这个世界上现在存在的名字，还是将来会出现的名字，都远远的高于所有的公国、所有的权力、力量和主权。
在古代人的意识里，所有存在的事物必须有一个名字，难道所有的现代人都没有古人的这种意识？很多孩子都拒绝接受数字将无限发展下去（仅仅给前一个出现的数字加上一个1就可以让数字增大）这样的论点，因为他们认为数字的名字是不够用的。对他们来说，一个古戈尔（googol，10的100次方，1后面100个0）和一个古戈尔普勒克斯（googolplex，在阿基米德的思想里，即10的古戈尔次方）是一样的，因为他们虽然很大，但是活生生的朋友，因为它们有名字。我认识的一个七岁的小女孩这么说，所有的数字中最大的一个是23 000。“那么，2300加1呢？”有人这么问道。她想了一会儿说：“好吧，我错了。”在这种原始的冲动下，人们使用了一切努力来给很大的数字命名，像称10366为普瑞末－外基斯末－森提莱恩（primo…vigesimo…centillion），称103 000 003为迈利夫鲁欧斯－米利－米利莱恩（mellifluous milli…millillion）。我们的一个最基本的数字是1063，或者说是1的后面有63个零的那个数字，这个数字使我们的想象力受挫：它仅仅是有几打（一打表示12个）零的数字。便与思考的东西使我们的想象力变得贫乏。
阿基米德使用米瑞亚德的米瑞亚德、级、周期来代替使用零，给出了一个很实用的理解大数字的方法——利用级、周期来类推，把那些我们无法理解的巨大数字放到离我们更近一些的地方来理解。当然，还有其他的方法来满足那种原始的冲动：比如，用恐惧来代替敬畏。比阿基米德晚800年的约翰•；多恩（John Donne）在他的一次大斋月的训道中这么说到：
人们已经计算了如此多的细沙粒，这些沙粒足够填充地球和苍穹之间的巨大空间：我们发现，几行零就可以描绘和表达那个数字……，但是，如果每一个细沙粒都代表那个巨大的数字，然后再用那个数字把它们相乘起来，那么，得到的这个不可表达的和无法理解的巨大数字构成的不是永恒的一分钟；上帝对那些不相信神的人的咒语也不会比一分钟短，因为他已经忍受了这么多代人的这种犯罪，这些人多的就像那个数字表示的沙粒那么多……，人类如何忍受它的存在，我们也不知道；在上帝和这些罪人之间有什么交流，上帝的咒语会作用在谁的身上，让他们在午夜的黑暗中品尝恐怖的惩罚，他们不会使我们知道……，这是上帝的咒语，这个咒语直到上帝的到来才会结束；当上帝来到我们面前的时候，他不会颠倒黑白，不会减轻你的罪责，他会确认你的罪责并加重这种咒语。
第一部分 透视零第9节 向东方传播（1）
我已经指出抽象的思考和想象力是一对竞争对手；为什么一个繁荣起来必然会以另一个的牺牲为代价呢？无论你把时间向前推多少年，计数和命名都一直是孪生的；在荷马（Homer）的航海日志中；计数和命名被这样写道：
……这对孪生兄弟生活在海瑞亚（Hyria）和多石的奥立斯（Aulis）；
在伊泰恩瑙斯（Eteonos）幽深的山谷中，游荡在斯靠亦瑙斯（Schoinos）和斯靠劳斯（Skolos），在广阔的米凯莱扫斯（Mikalessos）上玩耍……
甚至在表达思维的这两种行为时（计数；命名）；我们的话语也可以是平行的：我们在讲故事的同时在数念珠；计算帐目的时候讲述我们过去的传奇。
从简单的数数到在大量的数据间寻找关系；数学就这样慢慢的发展着；我们还确信这种发展一定从我们给数字起名这一类似打包的行为中得到了益处；我们让每一个名字尽可能的含有特别的意义；听到它的发音就能让我们知道和想象到它的含义。接着；连接这些起了名的数字；就可以建立起来一种全新的表达体系；这种表达体系将给我们带来全新的空间；而不是原先的狭小空间。
问题是；为了更加关注这种关系；我们就必须把我们所要连接的事物简化为单纯的一点——然后使这些连接符号化；这就将使这种表达体系继续扩展。任何过于扩大节点的行为都将使这种连接陷入崩溃。不要在过去的旧体系中犹豫不前；必须跳入到新的表达体系中去。这种递归的抽象方法在推动数学发展中是一个非常重要的要素；把你刚才看到的美景省略掉它的细节；保留它主要的东西才能使看到风景在你的大脑中留下更深的印象。歌德（Goethe）把数学家和法国人放在一起比较时有一点惊异。“无论你告诉他们什么”；他说；”他们都会把你说的东西转化为他们自己的数学语言；并且所有的东西立马就变得完全不同了。”
他们在清楚的说明这种关系中的关系时；存在第一层关系的数字有一种幽灵似的东西存在；难以理解。他们相当小心的开始这种思考：如果碗中有七个苹果；确切一点说；；“七”是属于谁呢？显然；不属于你拿起来的任何一个苹果（甚至也不属于你最后数到的那个苹果；因为你可以用不同的排列来数数）；当然也不属于那个盛放它们的碗；但是那里确实存在七个苹果。很多聪明的人都被这个问题困惑。一些人说七是一组；任何包含七个事物的组都可称为七。如果你吃掉一个苹果；那么七跑到了哪里？这么假定；虽然有一个脱离了组；但对于这些组来说他们依然应有七个成员。
这种情况对于零来说更难理解。零的名字属于一物体；但是零又不属于任何事物。它表示那里的全部物体是什么也没有。基于这层含义；零一定存在于每一个地方：举个例子；可以想象有零个蜂鸟（美洲产）在那个盛放了七个…或者现在是六个…苹果的碗里面。那么；零命名了什么呢？看起来好像是一个更小版本的格特鲁德•；斯坦（Gertrude Stein）的奥克兰（Oakland，地名），没有任何东西在那里。
“我可以从浩瀚的知识中总结出主要精神”；莎士比亚（Shakespeare）的作品《亨利IV》中的欧文（Owen）这么说。“ 为什么我能做到这些；其他人也能做到这些呢？ ” 号特斯帕（Hotspur）回答道：“但是；当你想要得出主要精神的时候；他们就一定会浮现让你抓到吗？”我们可以通过给数字起名字来领会数字的主要含义；但是他们依然是那么难以捉摸；细小的零让他们跳着舞走开。
跟随着跳舞的步伐，沿着公元前326年亚历山大国王的入侵路线；零传入了印度；随后从亚历山大港出发的商业路线使希腊人获得了巴比伦人的礼物零。假想我们进入了一个神话传说中的国家；在那里时空被惊人的拉长；数字也是惊人的巨大；所有的这些都是很平常的事。足有四码宽的蚂蚁队列川流不息的通过因陀罗（Indra印度神话中印度教的主神； 司雷雨及战争——译者注）宫殿的地面。“它们是干什么呢？”他惊讶地问站在他面前的一个十岁朝圣者。这个孩子说：“每一个人都曾经是一个因陀罗；这些因陀罗们统治着无数个宇宙；这些无数的宇宙就象一个个精致的小船；一个挨着一个飘浮在这个无边无际的空间中；每一个因陀罗可以活71世，在婆罗门（Brahma，婆罗门创世主，主要被想象成包括护持神毗湿奴和湿婆神在内，构成的三位主神的其中一成员，印度教也称作梵天；宇宙最高的永恒的实体或精神——译者注）中的一天一夜是因陀罗中的28个轮回，它是由108年这样的日日夜夜组成的。婆罗门出生前和死后都有另外的一个婆罗门存在，婆罗门是没有终止的。
但是；对于那些缺乏想象力的人；我们必须放弃来让他们想象这些故事或者他们前辈的生活情景。当一些事情发生的时候；用浪漫诗意的态度来看待这些事件是比我们普通的思维要好的；利用这种浪漫的思维；通过