国和荷兰的木雕家用黄杨木造出精致而细小的山水画：罗德和她的女儿们；有狩猎野猪和兔子的精细场面；希巴女王拜见所罗门国王情形——每个都是手掌大小。在这些坚果壳上，表示数字的图画，任何一个整数都可以担当零的角色，这种做法给了我们关于重复现象问题的答案。
如果在所有这些以不同节奏脉动的“宇宙”之间，在关键的构造上的相似，将是一件精彩的事情。当我们重新审视指数而且看到它们在这些环境中令人吃惊的运作方式，问题便得具体化。例如，最新的密码学的核心领域。现在我们的旅程将把我们从“零”的知识带到“零知识”。
思考一下，我们提到的标有从0到6的 “七日钟”。从它们当中任意选择一个你喜欢的正数（象打牌作弊者所说的）——例如3，并且乘6次幂，即36=729。如果除以7，将没有余数，现在用729减去1得到728，除以7后依然没有余数：36…1在这个时钟上也是同样的0。试另外一个数字，例如2。26…1等于63，又是这个系统中的0，以1，4，5或6的任何一个数字的6次幂再减去1，你将得到同样的结果。
费马
这是一个特殊现象吗？因为使用了“七日钟”或者用作指数的6（＝7…1）才出现这样现象的吗？非常值得注意的是，答案是不。如果你使用有从0到4五个数字的时钟，每个数字乘4次幂减1，会回到0，比如34…1=80，除以5之后没有余数。为什么在这儿停顿？一个有从0到18的19个数字的钟，把上面的每个数的18次幂再减去1，再除以19都会得到0。（如218…1=262 143，等于19×13 792）不经过计算，我就能知道1322…1可以被23整除，而且（如果你真地想要阿基米德的庞大数字）
（273 889 154 767 432）1 111 111 111 111 111 110…1
可以被1 111 111 111 111 111 111整除。我们怎么能这么确信呢？因为法国律师，业余数学家皮埃尔·费马（Pierre de Fermat）的“费马最后定理”最近得到成功证明，这个定理在1640年提出，现在被称作“费马小定理”。如果我们认识到数字的搀杂性理解这个定理就简单得多。5，7，9，23和上面的庞然大物是质数——除1和自身没有其他的因数。任何一个质数（记做p），比它小的任意一个整数（记做a）的p…1次幂再减去1都可以被p整除，费马对这个定理进行了猜测和证明。
这么讲他的结论听起来太难以理解，而且太无实质内容。如果这么说会更生动一点：拿p除ap…1…1没有余数。或者这样更多地让你想起劝戒人的禅语，就把这个谜语放在一边，但是保留禅语嘲弄无知的本质：
在p的世界里，
你不能把ap…1去掉1
与什么也没有区别开来。
看上去我们已经从用零的符号表示各种不同数字的时代，过渡到了用各种不同的数都可以代表零的时代（在它自己的泡泡里），关于费马小定理最令人眼花缭乱的一点是它不仅揭示了循环周期为p的世界中的共同特性，而且还有面对质数的令人胆寒的忽视。我们正在逐步接近零的知识：给出一个质数，我们无法知道怎样得到或预知相邻的另一个质数；我们知道这对所有的数学家都至关重要。但是它们的伙伴（如果它们有一个的话）总是躲避我们，虽然已经有很多人奉献了毕生精力。
这种忽视怎样增加了我们别的方面的知识呢？让我们抽取在各种时期数学上发生的5种不同方式。让你自己保持舒适，品尝一个蛋白稣饼，一盘布丁或者任意一种在伊丽莎白时代称做空盘子的起泡甜食。
据透露，编码人最近发明的一项几乎不可破解的密码，正是继续利用我们对质数的忽视。这个非常令人愉快的小把戏在这里被向各色人等公布，它看上去恰好是解码的关键。两个数字，n和e，当你的部门代理人想要向你传送关于鱼雷导向系统的详细说明书时，她仅仅用n和e对消息进行编码，只有你才能解开。那是为什么呢？因为e在n上遵循循环分布的方式，n是你们自己的两个秘密的很大的质数，我们称做p和q（“很大”这里指大约150位）。任何一个知道他们的人都能够破解这个消息。反间谍活动为什么不从n次幂这方面入手呢？因为n太大了，有些为300位之多，甚至是一系列最快的计算机也不能及时完成它。
不管怎样，在这个程中有一个症结存在，像在一个炖兔子的古老食谱中叙述的那样：“首先抓住你的兔子”。使用这个密码你同样必须找到两个大的质数，p和q。有无限多个质数，而我们只知道其中非常少的一丁点。但是费马和他的费马小定理帮助了我们。你知道如果p是质数，而a是小于p的任意自然数，那么ap…1…1在一个周期为p的循环中是0，这就意味着，如果ap…1…1在这个循环中不是零，则p不是质数！这就给你了一个找到想要的大的质数的途径。随机造出一个足够大的数字作为P的候选者，选择一个a，比如2，乘幂p…1次然后减1，这是计算机擅长做的一类事情，因此，让你的计算机做这个工作，而你可以再吃一块蛋白酥饼。把结果除以p，如果有余数，那么p不会是质数，再做第二次选择（你也可以把这种选择交给计算机来完成），再试试。
如果没有余数，p很可能是一个质数：它是合数的可能性不到1/1013；如果这个几率不能让你满意，用一个不同的a实验一下p，比如3。每一个“证人”a的成功验证（显示ap…1…1相当于0）都极大地改善这个几率。一旦感到满意时，以相同的方法找出一个q。现在使p和q相乘，自己记下他们而公布n和有联系的e，然后等待，这个除了你没有人能够阅读的编码的消息就上路了，游戏结束了（但是；不是你希望的快步舞曲）。
这里有第二个瓶子，装着“零知识的证据”：一个发现某人是否是他自称的人，虽然你自己不知道向他提问的问题的正确答案。在这样荒谬的情况下，略作停顿来品味一下酒的醇香。现在让我们作如下假设（按照神秘的传统），一个似是而非的陌生人声称他是双胞胎安（Ann）和安妮（Anne）失散已久的哥哥。作为被他们雇佣的律师，你不能花费自己的时间来区分她们，但是他应该能。那么，你让他坐在塞得满满的起居室中，让双胞胎之一进来，你问：“她是哪个？”他很快地说：“安”她确认了。她离开后你重复这个过程，“安”他说，又对了。你继续进行。让一个或另一个随机地进来。他一次次地猜对。你仍然不能区分出她们，但是大约三十次成功的认证之后，你知道这个家伙似是而非的几率不到10亿分之一，因为他不是一个陌生人。你使家庭重新团圆，收取佣金，安妮还是安把佣金递给了你？故事的含义是，虽然你既不知道双胞胎哪个是谁，对她们哥哥怎么区分一无所知，但是你知道“正确的事”。
拆开第三个瓶子：一个大酒瓶。由于容纳了太长，太错综复杂而不能检查的数学证明而不得不这么庞大。如果你想知道这是怎么回事——因为一个人的发明，另外的人可以随意跟随——理由是一些最近的证据包含了如此多的事例，而只有计算机能够一一核对，所以我们就会任凭它可能出现在逻辑、程序或执行上的错误的摆布。不管哪一个人能够运行，另外的人只要足够狡猾，就能进行检查。首先在于重写传说中的证据，这样可以找出几乎所有地方的错误，好象错误以一种审讯所惧怕的气势传播。然后你仅仅为计算机编程来随机抽取重写出的证明。如果没有找到矛盾之处，证明几乎是理所当然的可靠（把错误的几率，据一位专家说不到1015分之一）。在这方面，同一个专家偶然间宣称：“在一个SUN工作室中，关于氢原子大小的论证的一分钟的结果，如果用文字写出，可以填满我们已知的整个宇宙。你找不出一个更加引人入胜的例子来证明，思想的所及已经超越机器的掌握——以不知道错误是什么为代价来交换。
第四个瓶子是小的：里面盛着的大庄园的气息使你眩晕。这葡萄酒用一无所有挤出的，但是对事物的判定或者“是”或者“不是”，没有第三种可以假设的情况。如果你接受这个阿里士多德称呼的“排斥中立法则”，就可以接受“矛盾证明”，象你在73页证明“被零除是不可能的”的方法。例如使用这种证明方法来证明，如果你在一个小的密闭的盒子中放入无穷多数量的点，它们可能稀疏地分布在这儿或那儿，但至少有一个点被其余的点簇拥着，不管你多么接近它，都会有无穷多数量的点包围着它。这个点在哪里呢？证明不能告诉我们。为什么其余的点聚集在这儿而不是别处？还是没有答案。这个证明实验只说明了这个特别的点是一定存在的，但没有给你任何关于它的别的最微不足道的暗示。因此，它总是用反证法来证明的，这种情况令人不满意，就象叫住一个陌生人问他：“是否知道时间？”他回答：“是的，我知道。”然后继续前行一样。
瓶子藏在后面，而且是用厚而黑的玻璃制成，所以我们甚至不能判断出是满的还是空的，上面有一个用神秘的笔记写出的数学推理方法的标签。这里有奥地利逻辑学家库尔特·古德尔（Kurt ）在半个多世纪前提出的定理。他们为我们一无所知的一个曲线求一种令人昏晕的旋转方式。因为，我们总是认为我们的确定是黑暗中的一束光线，而且我们相信这种光线已经而且正在扩大，所确定不疑的东西将会扩展直到晦暗变成只是遥远的地平线。
古德尔（关于他有一个标志性的故事，讲他从不说任何错误的东西，由于他认为留下任何未完成的句子都是失败，所以他的言论在完成前总保持连贯）证明：一个陈述的正确性不能在这样的系统中被证明——这个系统本身也不能证明是正确还是错误。很奇怪地，这样的陈述以正确的方式表达却不一定也能证明它们事实上是正确的。即使它们能够被证明，却不是在这个体系中，而是一个自然地充分延伸的体系中（这样就会引起新的不可确定但是正确的命题。仍然可以在新的体系的延伸中得到证明——这样永无休止）。这样的一个僵局印证了棋局的规则；但是这里的走步和规则同样重要。
如果托马斯·尤斯克（Thomas Usk）与我们一道，他现在会正低声说，一无所知无法表示自己，但对其它的有重要意义。
第三部分 费尽周折第25节 令人愉快的天使（3）
观点的构造
这五次前往数学艺术的旅行是在零的精神的指引下，以无知为主干进行的，虽然数学首先而且最重要的是一门艺术，但是它是被科学用来揭开宇宙秘密的艺术。现在零将出列来领导这场揭示行动。所有我们在物理，化学，生物学方面的进步，在工程学和经济学上的成功都来自于对这种悬而未决事物用形状和数字语言的表达上。在我居住的马萨诸塞洲的剑桥，在一个清新的春日，我坐在查尔斯·瑞尔（Charles River）旁边，一个白发老人停下来，坐在我旁边的凳子上，指着安德森桥对我说：“你看到那些拱门了吗？我教了它们三十年。”
那些拱门被设计得能够体面地，安全的承受压力，设计它们意味着首先要确定压力数据，对自然界和装置的数学化一部分甚至在卢卡•；迫希利之前就开始了，给可以设定的每样东西赋值。我们征服世界以方便我们自己，确定堆积的方式（使地球表面与石头的弧面互相抓合在一起），这些是通过用数字描述的方程，那些满足最低要求的结构象考尔德动的雕塑一样完美平衡。我们为未知数配对，使之满足我们给予的约束（房子能造多高，位置在哪里？怎样剪裁衣服来适应布料）。
把我们周围的拥挤和喧闹转换成为方程是一半的艺术，解决它们是另一半。这不是在过去时代为数学家呈上的象在今天学习代数学的人面前一样的一块蛋糕，散发着不可抗拒的魅力（他们没有可以帮助他们的老师，在抽屉里没有解答书）。方法来自于千方百计地解方程，用正确的方式提出问题。原因与“芝麻开门”一样。就在这里，零充当了重要的角色。阿拉伯数学家很多年来用象“完成正方形”这样的巧妙方法来取笑他们的二次方程式论。我们的代数学（algebra）一词实际上来源于 的书 的标题，这是我们已经看到的，我们的翻译都来自从“复原与还原（Restoration and Reduction）”到“完成与比较（pletion and parison）”
代数学是怎样做的呢？这个原理总是用方程来形象地说明：
X2…39＋8X=…2X
用一位历史人物的话说，这个方程象一根金线贯穿了从825年的 以后的四个世纪，现在已经经过了十二个世纪。首先“还原”它，把负项移到另一边，变成正的，就是：
X2＋8X＋2X=39
然后“简化”成为X2＋10X=39，即合并同类项。现在你可以象侏儒怪那样运用灵活机智来逼出未知数，告诉你它的解：这个例子中是3（…13也可以，如果允许负根值）。
唯一的问题是你需要不同的方法，在我们今天看来一点都不清楚明了。奥马尔•；凯亚姆有一种解决形式符合X2＋pX＝q类型方程的解法，另外一种是解X2＋q＝pX，第三种是pX＋q＝X2。面对这样详细而且分散的形式，会急切的等待统一。就像孩提时面对词形变化表。类型总要包含一个是否所属的判断，我们没有失望，它带来了一个重要的人物，虽然这在苏格兰，他把这些方程及跟它们类似的整个方程式家族等于零，从而用一种统一的方法来解。
这个人是约翰·纳皮尔（John Napier），爱丁堡附近的男爵。在16世纪晚期，当他的城堡没有被围攻，他没有击退攻击他们土地和邻居的袭击者时，他涉足了一些神秘的研究“可以水下航行的装置”，“圆形双火枪战车”；向鸽子施魔法，着手用巫术寻找埋藏的珠宝，在36个相近的有合乎逻辑的主张预示世界末日的代数学中，推断预言和历史之间的关系，得出结论，最后的审判将在1688与1700年间降临，他还发明了对数。据他的邻居传闻，在十七世纪早期，他是恶魔的一员，他的衣服全是黑色的，一个通体墨黑的公鸡是他一成不变的伙伴，很少理会这些传闻。
纳皮尔
但不管怎样，纳皮尔的魔法是特别狡猾的，或许是因为象圣·弗朗西斯·培根（Sir Francis Bacon）所指出的，历史使人明智，诗歌使人风趣，而数学使人精明。所以，当他的仆人被发现偷窃时，他把他们召集起来（象故事里讲的），告诉他们他的黑公鸡将发现窃贼。他把黑公鸡系在一个漆黑的房间里，每个仆人都要单独进去，拍公鸡一下再出来，这样他就抓到了窃贼，唯一一个手是干净的人，他太害怕而不敢碰被纳皮尔撒了烟灰的公鸡。
纳皮尔对待方程是有魔力的。他把有一些常数项的方程变成另外的形式，通过重复的代数学的传递把所有项都放在左边，仅留一个零在右边。这就是他所说的“等于一无所有。”这个技巧为什么这么重要？这取决于乍看之下不重要的东西：如果两个或更多个因数的积等于零，那么其中一项必须也�