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这些几何学家——在他们中间出现了苏格拉底（Socrates）和柏拉图（Plato）——通过画在沙地上的图形用几何学的方法解决算术学的问题。1，3，6，10等等是三角形数，因为你可以通过用一行点来增大等边三角形来获得。
三角形数
这样的图案产生了更进一步的洞察力——按照正方形数，正五边形数的顺序，例如
一些多边形数字
但是没有零，也不需要零，因为他们不是在计算而是希望通过这些图形来揭示宇宙中存在的规律。
这把商人置于何种境地了呢？他们使用一种哲学家永远也无法描述的装置，今天你仍然能够看到他们的后代在酒馆中玩着西洋双陆棋游戏（十五子棋戏供两个人玩的木板游戏，通过掷骰子来决定棋子移动的步数——译者注）——计算板。甚至在这之前——虽然这些计算板可以追溯到至少公元前17世纪（巴比伦人可能在早一千年前使用过）——他们用手指通过灵巧的方法飞快地进行计算（你仍然能看得到，在市场上，女人们弯曲和绞起手指，用于某种有人称做“女人的算法”中，或者有人称这种算法叫“提花马赛布算法”）。
梭伦（Solon），古代雅典伟大的立法者，在他的一篇诗歌中把暴君的喜好和计算板相比，它的价值依赖于人们一时兴致把筹码从一个数位拖到另一个数位。这个隐喻告诉我们关于零的决定性作用——特别是当我们看到这个隐喻在五世纪后被历史学家波利比奥斯（Polybius）夸大后。
围绕在国王周围的朝臣实际上象计算板数位上的筹码一样。因为，依靠计算者的愿望，他们或许价值仅八分之一奥卜尔（obol，古希腊银币），或者一整塔兰特（talent，古希腊银币，大约是八分之一奥卜尔的300 000倍之大）。你应该注意到计算板上从左到右的数位当然没有表示零的（一些希腊计算板从左到右明显地有一些数位分别地代表1个塔兰特（6 000 德拉克马drachas，古希腊银币名），然后是1 000，100，10和1 德拉克马，之后是1，1/2，1/4和1/8奥卜尔（6奥卜尔是1 德拉克马），这些是用作计算钱币的计算板，就像那些计算房中老式的计算板，这些计算板后来进入我们的银行，也就成了计算用的长形工作台）。因为，换句话说，“无（零）”不是一样东西，也不是一个数字，而是计算板的一种状态——经常是瞬时的状态。手指计算也是这样，如果我们用更晚一些的体系，探究一下比德（Bede）副主教写于大约公元730年的“关于用手指计算和交流”手稿，“零”用手指松开 或平常位置来表示，换句话说，它根本没有手势示意。
比德（Bede）用手指符号表示2 000
希腊做计算的人几乎不需要表示数量的名称，因为他们可以用数位上的筹码来说明：
4 825：在X（=1000）位有四个筹码，所以是4000
在 （=500）位有一个筹码，所以是500
H（=100）位有三个筹码，所以是300
Δ（=10）位有两个筹码，所以是 20
Γ（=5）位有一个筹码，所以是5
4 825
更进一步的运算显而易见。但是，非常糟糕，甚至发展到需要名字的时候，零也不在其中。
我们进行一两页离题的讨论：这些计算板告诉了我们一些关于零的符号的来源的推测。在阿普利亚区（Apulia，意大利东南部的一个地区）出土的公元前4世纪的一个有红色图案的精巧的双耳喷口杯，我们称它为大流士（Darius，古波斯帝国国王）花瓶，在这上面可以看到皇家司库在计算被征服国家呈上的贡品的价值，这些国家的代表躬身站在他面前。他坐在一个有币值符号的计算桌子旁，其中一个是O，奥卜尔（Obol）的缩写，一个硬币的价值，就像你看到的，几乎一文不值（他们运走尸体时，把一个硬币放在死者的舌头下面来付给摆
大流士的司库坐在他的计算桌旁
渡到上帝那里的船夫）。几乎一文不值？如果你手头没有表示“无”的符号，一个跟它价值相近不可以吗？在科普特（Coptic）文中，用巨蟹座回归线附近六月正午十分的影子（根本就没有影子），据说有半脚长，来避免不得不说到的零。或者如哈姆雷特（Hamlet）的朋友霍雷肖（Horiatio）会对我们说：“太难以理解而不能这么考虑？”我个人认为不是计算板上的数位而是筹码给了我们一直寻找的线索。用作筹码的卵石一定有点圆，因此在书写中就很自然地用实心的点●表示，因此，用图形来表示在数位上一个筹码也没有就是一个空心的点O。从一个图形到符号（图象到图象）不是一个很长的历程：思考一下罪犯们简洁的黑话“两个O一个位置”就是粗略查看快速但全面地检查或做（once…over），也表示一个栩栩如生的双关语，一双监视的眼睛。为什么圆形的O经过几世纪拉长为0了呢？因为劈开的大羽毛和钢笔尖在画一个连续的圆要比画两个垂直并弯曲的笔画困难得多。
如果符号方面的存在到不存在，●到O，对你来说，仍然是太大的一步，有一个相似的推测来缩短这一步。可能不是希腊的几何学者在顽童似的把玩商人们的筹码时偶然地发现了三角、正方、多边形数字的数字。他们不应该是唯一的拿这些筹码做上述用途的人：两千年后年轻的歌德（Goethe）就热衷于在父亲的计算板上把石子排列成星座的形状。我们从柏拉图可以推断几何学家们至少有时在沙上涂写他们的数字，如果他们也在沙地上用卵石得到他们的成型数字，那么商人们——或者不管是谁使用筹码来计算——看到这些图案时也会看到拿掉一个筹码后的结果：在位置上留下了一个圆形的压痕，是O代替了●。霍雷肖又要对这些假设清嗓子了吗？用撒了沙子的计算板会让他对不可能的事感到满意。
从这个分支开始追溯，我们能得出结论，希腊人用一种形式写数字，另外一种形式来进行数字计算。雅典贵族的势利不能完全解决这个分歧：一些隐秘而且更深入的东西在起作用——语言的重点和思想的重点在互相转化。看那些卵石在你周围迅速移动不可能产生信任——象旧骗局的受害人将告诉你的那样。阿里斯托芬（Aristophanes），五世纪雅典喜剧作家，在他的一本作品中，有一个人物这么说，城市的财政不应该用卵石计算而是用手指。但是手指计算为什么更值得信任？它不能留下永久的记录。需要一种代码既足够灵活使用，又利于思考，但要足够安全来抵制像台比留国王那样的人。你注意到我们仍不得不老是要解决这个问题：在你的支票上必须不但用数字，而且要用词语写出数字，银行将核对它们，这样才可以减少被伪造可能。
计算的方式仍保留着清楚的记录：这是身体与思想分离的地方。想想填满你日常的这些成千上万的不可名状的举动：调整你的声音来表达兴趣或轻蔑；系你的鞋带；做一个煎蛋或一次精确的射击。这些动作是你的身体知道如何去做但你试图描述时又总是犯错。但是这不管多么令人惭愧，直到这些招数能用语言表达出来时我们才能从中抽象并带入我们的思想。零——在行动与事物之间保持平衡（数字是什么，它什么时候成了形容词或名词？）——使用者不管什么时候停下来思考他们正在干什么都会感到迷惑。
希腊人蒙在这个不被称作数字的数字（零）的最后一层面纱：我们知道，它也是蒙在别的其他数字上的面纱。语言出现于我们的行动与思想之间，但是它本身有两个层面，口头的和书面的。书写的永久性使它在两者中是对我们更有价值的。但是不总是这样，那个黄金时代的希腊人有特别的观点，一些是基于他们的歌唱家特别的能力，他们可以用心记住象《伊利亚特》（Iliad）和《奥德修斯》这样的洪篇巨著的史诗。记忆常常被等同于知识，充满智慧的知识——因此文章（我们文化的宝库，与祖辈的联系）的记忆对他们来说是类似于乐谱的东西：当音乐会上的钢琴家面前摆着乐谱才能完成演奏时会使你感到扫兴。或许这就是为什么柏拉图写对话了。这些对话是他们的语言，却不被这种语言接受。他在一本书中故意地使苏格拉底证明这样一个问题，书写会导致健忘而且只给出了真理的外表，而不是真理本身。这可能也是为什么更早的哲学家赫拉克利特（Heraclitus）使他的格言格外的简短而令人困惑，事实上，希腊人就是因为这个而发明了反语，不说出你想要表达的意思的全部，而仅仅是说出一部分来表达全部意思。
零也是一种反语吗？它在希腊文中的缺失可能不表明他们不用或不思考它，事实上，或许正好相反。保守秘密的规矩遮掩了同时代的毕达哥拉斯（Pythagorean）同行们的活动，数学对他们来说是重要的东西，而且它的新加入者为他们关于宇宙秩序的新发现保密（在等级制度中，了解了关于无秩序状态的更深秘密的人会受到失去理性的成员的威胁）。他们可能是一些秘密传统的管理者，包括零，后来都遭受了在我们视线之外漫长的潜行。仅仅在几世纪以后零就出现在印度炎热特别的灰尘中？
当然，像狗不吠叫之类的证据永远不可能被庄严的历史所接纳。那些标准的证据使我们仔细地研读一行行的文字，而不是仅仅游离其中。但是思想也热衷于间接地找出前进的方向，在法庭外点头和眨眼一样好：他们警告你，不管从这里出现了什么符号，不管怎样，都无法代替零所表示的不存在。
第一部分 透视零第8节 旅行者的故事
很久以前的那个秋天，这个世界上发生了什么事情呢？当雅典（Athens）的这个想法传到亚历山大港（Alexandrian），它的影响力达到罗马（Rome），它所创造的文明又通过侵略和商业贸易向东方传播，是它在新的环境中改变自己，还是为了吸收它环境自己改变了呢？我们已经度过了那个几何学繁荣胜过算术的时代，因此我们将期望零自己本身获得自己应得的地位而盛行起来。下面介绍这个小小环形符号巨大的描述、解释和调节能力，这个符号从一种语言传到另一种语言，从一个数学家传到另一个数学家，从一个天文学家传到另一个天文学家，但没有一个人意识到他们所拥有的这个符号是多么的重要。
正如所有的优秀冒险小说那样，不该出现的东西绝对不会在它不该出现的地方出现：举个例子，公元前三世纪，在西西里岛（Sicily意大利南部一岛屿，位于意大利半岛南端以西的地中海——译者注）人们对巨大数字产生了热情。你应该会想到，在研究生长的植物时，必将导致一个表示位置的符号和零的出现，这种表示方法的杰出地方是：不管是存在的还是不存在的各种各样的大量物品，通过抽象和空出该空出的位置来计量它们的数量，表示它们的数字都是一样的。在前面的几章你已经看到了，创造和熟练的掌握为大数字所起的名字是多么的困难，而为了获得一个大数字在1的后面加上一个0又是多么的容易。这当然是我们如何勾画那些令人敬畏的和所期望的巨大数字的最佳方法。当我们在比赛谁写的数字最大的时候，最后的胜利者总是那个在前一个人写的数字的最后加上一个零的人——就像都柏林（Dublin）的调酒师，总是设法向已经满溢到边缘的酒杯中再多加一滴强性黑啤酒（了解了我们给大数字起名方法的改变以后，该如何写我们向无穷大靠近和想象力不断演化的历史呢？）。然而，一个就像调酒师那样热衷于玩弄那些令人难以置信的大数字的发明家，而对那个能方便的表达大数字的零却视而不见。
阿基米德将要被一个百夫长（古罗马的军官，指挥百人——译者注）杀掉
阿基米德（Archimedes古希腊数学家、物理学家、发明家——译者注）出生于大约公元前287年，他的父亲是一个天文学家。在他那些令人惊异的著作中，有一本是送给锡拉库扎（Syracuse，意大利西西里岛东南部一城市，位于卡塔尼亚东南偏南，爱奥尼亚海沿岸。 公元前8世纪由科林斯殖民者创建，5世纪其国力达到颠峰，但于212年落于罗马人之手——译者注）国王盖隆（Gelon）的，在这本书中，他向国王展示了如何给巨大的数字命名，这些数字可以不仅仅比锡拉库扎海岸的沙粒多，而且可以比整个西西里海岸的沙粒多，世界上所有陆地上的沙粒，知道的和不知道的，都能用这个方法表示。而且，他说：“我将向你展示，通过几何学证明后的这种方法能使你理解这些我起了名字的数字……那些超过所有沙粒数量的数字……与宇宙具有同样数量级的巨大数字。”
一个磨房，把所有海边的沙子不停的研磨，这个难以想象的情景也许只有在神话传说中才会出现。利用阿基米德创造性的一系列乘法，这些细沙的数量，可以准确的表达出来。
阿基米德这么说：假定在一个有一个罂粟种子那么大的小堆里面至少有10 000个细沙粒，40个罂粟种子排起来和一个手指差不多宽。为使问题简单，假定每个种子都是一个球体。当这些小球一个挨一个排列的时候，一个小球所占据的空间是等于以它的直径为棱长的立方体的体积（你可以想象，以一个球的直径为棱长有一个立方体，那么这个球将恰好能放入这个立方体中。之所以这么假定是因为当时还没有发现球的体积计算方法——译者注），所以，当以40个种子排列的长度为一个球的直径时， 这个球的体积将是一个种子体积的（40）3=64 000倍；并且由于一个种子大小的球体中含有10 000个细沙粒，所以，我们已经讨论了64 000×10 000个，也就是640 000 000细沙粒。用我们现代的符号表示，也就是43×107个细沙粒。为了方便，我们把64四舍五入到100，因此，我们将得到，在一个直径是一个手指宽的球体里面含有109个细沙粒。不要担心所有的这些估计可能都太大：正如你将看到的，夸张是阿基米德的这个游戏的一部分。
现在，让我们继续开始，10 000（104）个手指宽度将是一个称为斯忒德（stade，古希腊、罗马的赛跑场，长607英尺，约185米，大约是1英里的十分之一，后来以此作为一个长度单位——译者注）的希腊长度单位的长度。一个直径是104个手指宽度的球体体积将是一个以一个手指宽度为直径的球体体积的（104）3=1012倍，我们知道在一个以一个手指宽度为直径的球内含有109个细沙粒；所以，以一个斯忒德长度为直径的球内含有1012×109=1021个细沙粒。
阿基米德随后引用比他早25年的一个伟大的天文学家阿里斯塔克斯（Aristarchus 生活在希腊东部爱琴海上的萨摩斯岛（Samos） ）的著作中的数据来估计宇宙直径的大小（古希腊人认为固定星星的地方就是宇宙的边界）。阿里斯塔克斯坚信地球是绕着太阳转的，他的这个想法可是比哥白尼（Copernicus）的想法早了很多