沿着光荣足迹走过来的我们；非常困难去重新理解那些只有0和1是实数的规律，所有的其他数字以及其它行为都要受到这些规律的支配。那些回到过去并对这些规律提出质疑的人必须等到这些规律提出者回来，并遵守诺言保持这些规律。但是莱克格斯（Lycurgus； 9世纪斯巴达立法人，被认为是斯巴达法典的创立者——译者注）再也没有回来：这是他给予斯巴达的礼物。
第三部分 费尽周折第27节 无穷小（1）
懒洋洋地走向伯利恒（Bethlehem）
只有选择遗忘过去才能让我们继续前进，将曾经不确定的东西作为确信的最平常的东西，将通过努力得到的东西作为我们生来就有的权利。对待零也应该这样。他被说成从一个位置符号浓缩为我们字母表中的一个字母，在数学的初级读本中把它作为一个解决等式的量。
到十七世纪，我们关于等式本身的态度改变了。当我们的兴趣从事情是什么转移到他们如何得来时，世界的动态变化映射关系是服从函数关系的。零的绝对的本性毫无疑问担负着最惊人的转换。
聚于焦点的问题是运动的问题。如何预测行星的轨道或完成一个炮弹的飞行轨迹？困难在于两者沿弯曲路径运行，而从希腊的几何学开始，我们所有的理解依据都是直线。例如，如果我们知道一条曲线上某点的斜率，我们仅仅可以说出它在哪里开头——但是在曲线的一个点处它是怎么有一个斜率呢？把曲线放在一个坐标平面上是有助于说明问题的（很幸运它已经被费马（Fermat 1601…1665 法国数学家，他有系统地阐述了现代数理论和概率论）和他同时代的笛卡尔（法国哲学家、数学家；1596…1690）发明出来，我们可能已经知道他们）。
坐标平面
因此它看起来就下图：
但是斜率是属于直线，如下所示，从A到P的路径，在产生一个水平距离x的同时上升一个垂直的量y——我们说他的斜率是比值y/x（因此一个1比10的斜坡每前进十个单位就上升一个单位：对于汽车来说可以忽略，对于骑脚踏车的人来说令人疲乏不堪）。
通过画曲线的切线，即使冒险猜想一条平滑曲线在某点的斜率是什么的，也一定会引起一些人的暴怒和另外一些人的嘲笑。晚至十九世纪，叔本华（Schopenhauer，1788…1860； 德国哲学家）还依然踌躇在半悲观之中，他引用一个幽默作为他愚蠢的理论的证据（这个笑话好像是讲这里既有角度又没有角度。它一定是他讲述的方法）。
这个问题的令人吃惊的解决方法依赖于由来已久的思想：希腊人的思想不时的产生出新的思想；小书写体（minuscule，一种在7世纪至9世纪之间从安色尔字体发展而来的小的手写字体，用于中世纪时的书写——译者注）的秘密，随后复兴并且被修改；艺术家对衬垫和齿条欣赏；我们对除法的日渐熟悉和对除法得到的余数的关心。在17世纪早期，人们开始广泛玩弄像这样的概念。被讨论的曲线由一些方程式或公式给出。我将用我们现代的叙述方法和现代的符号来说明一个函数f（x）的曲线图，并且我使用二次方的函数作为示例的模型，f（x）=x2。我想在曲线的某点P找到它的斜率。
曲线上的点P在x轴上的投影我称作r点：距离0为r的点。当r代入函数时，r点上部P点的高度和函数的值相同（它的路径就是曲线）：在我们的例子中，P点的高度为f（r），也就是r2。如果现在我们画出从r到P的直线，它的长就是f（r）。我们现在有P点的两个坐标值：水平坐标r，垂直坐标f（r）（在我们的例子中，是r和r2）。
因为切线是一条直线，两个点可以确定它。我们知道P点是其中之一。如果我们知道切线在哪里与x轴相交——我称那个点为A——我们将知到从A到r的线段长度（这个长度为k），因此我们知道比率f（r）/k，这就是曲线在P点处的切线的斜率：我们想要的斜率。
注意到f（r）和k是直角三角形的边，直角三角形的斜边AP是我们切线的一部分。这里就是魔法开始的地方。在x轴上r点的右边取任意一点，距离r点为h——因此这点在x轴上的坐标就是r＋h——并从该点垂直地画一条直线，交切线于C点，交曲线于D点。从点P画水平线与这条新的垂直线相交于B点。显然它的长度也是h。
我们不知道C点的y轴坐标，但是我们知道B点的y轴坐标和P点的y轴坐标相同为f（r）；并且D点的y轴坐标为f（r＋h）。
在我们的例子中；
f（r＋h）= （r＋h）2
就是
r2＋2rh＋h2
我们为什么做出如此复杂的新图形呢？因为在这个图形中三角形PBC相似于三角形ArP，它们的边的比率 是我们想要知道的。
现在我们知道，相似三角形早在欧几里得（Euclid）以前就是几何学者的惯用手段，并且他们知道对应边的比率相等。因此，在这里 ，因此如果我们仅仅知道BC的长度我们就可以求得结果。但是，当然我们不知道。我们知道BD的长度，可是：它是从x轴向上整个线段的长度（f（r＋h））减去从x轴到B的长度（f（r））。简而言之，它是
f（r＋h）—f（r）。
这就足够好了吗？不，因为C点不是D点。但是我们可以看到我们想要的比率 和 差不多。因此，如果我们拿起的点r＋h并开始缓慢的向左滑动，朝r的方向——缩短h，那也就是——垂直的直线将和它一起移动，并观察：CD的长度将变得越来越小，直到最后消失！三角形PBC和图形PBD将变的完全相同。
但是这里的魔法陷入了严重的麻烦。我们已经将h缩短到足够消失。那将使h=0：并且你知道我们不能用零去作除数。
数学使思想变得敏锐起来。我们仅仅考虑我们的例子，一直使用的平方函数上，希望提前找到一个解决的方法。在这个特殊的例子中，比率
就是
因为我们不能让h在分母的位置为0，让我们运算分子上的平方，并分解我们式子。我们得到
消掉r2和…r2，我们就得到
现在，随着我们的运气向前摸索，从分子中提取因数h得到
奇迹！消掉h，留给我们的仅仅是
2r＋h
现在让h缩小到0（费马说，对于一个点来说就是简单的：“移动它”）那么留给你的就是2r。2r就是是f（x）=x2在点（r，r2）的切线的斜率。因此，例如，在点（3，9）处的切线的斜率是2·3=6。尝试一下：你会发现你的测试确认了我们的结果。并且如果你感到有精力，尝试说明f（x）=x3在点（r，r3）处的斜率是3r2。
绝妙的、革命的——并且也非常有争议的。只要我们在适当的时刻，我们是否可以真用0去除呢？我们能否符合逻辑的搞清楚我们的移动和缩小，以及一个三角形在最终和一个曲线形边的形状相同的问题呢？并且“最终”明确的意味着什么呢？
在十七世纪晚期开始的答案是充满异议和反证的，这种情况延续到以后150年，从客气辩论上升到到相恨的争吵，形成并归结于无穷小的知识和语言。如果精明的农村人知道很多个多构成更多量；如果仅仅是看不见的鬼怪和很少的一部分神话传说中有超于我们的力量存在；如果较少就是较多——那么为什么最少不能是最多呢？为什么这里不引用相同的比喻并重新认为零是某物存在的微小量呢？这就是在17世纪被一个接一个的数学家分别引用的方法，恰好被熟悉的运动弄得前景迷惑。利用数学的和人类的术语中，这个故事太复杂以至于什么事情都不能做，只能在这里浅薄地叙述它。依照爱默生（Emerson）的建议，当在薄冰上溜冰，速度是你的助手；因此，只要我愿意，我不会逗留在仅仅望着远方模糊的东西而冒着把闪闪发光的结论撇在远处的危险，从而偏离通往它们的路径。
当h变得很小时，曲线和它的切线变得愈来愈接近；毫无疑问，考虑它的每一个人都赞成这一点。因为问题在于“很小”和零的区别（你可以用第一个去做除数，但不可以用第二个去做除数），对一些人来说，它成为用微小的点来填补两者之间间隙的物质；对其它人来说，它成为静态景象但是令人鼓舞的物质。
在刚才操作中（事实上我们把三角形PBC始终叫做“巴罗的微分三角形”），艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的老师艾萨克·巴罗（Isaac Barrow）用几何学方法证明并得出这样的结论，当三角形PBC“足够小时”它可能安全的等同于PBD。他说，几何的方法可以“免除讨厌的计算负担”。这是一个生动的评论，因为计算开始于在一个板上移动小圆石，这里正在发展的微积分学将超过那个：不可再小的圆石的运动，概念上的沙子的颗粒，那将告诉我们那些微积分学从未能做到事情。
然而如何搞清“足够小”的意思呢？一些人说，想你喜欢的那样小，把负担推卸给批评家；“不确定的”和“确定的”小，另一些人说，把它还给认为由原子组成的世界。或确实存在原子（在他们的思想里，原子是绝对不可分的，而现代科学中原子可以继续分下去——译者注）——不是每个东西都可以永远分下去的？但是离开的一个极小量仍然说明它们是不同的，而且我们想要求的曲线的斜率不是接近P点而是在P点。
由此，在倡导“极小量”的概念的那些人中，又一个手段发展起来：微分量是小于任何你指定的数量；或者当与它较大的邻居比较时（当我们展开（r＋h）2并得到r2＋2rh＋h2，当h变小时我们忽略了h2，因为h2变小的更快），很小量可以被忽略。1691年，约翰·柏努利（Johann Bernoulli）说：“大数量是象天文距离的，而无限小量象你在显微镜下看到的微生物”——因此“一个减少或增加一个无限小量的数量既不增加也不见少”。
这让人想起弗莱恩·欧卜森（Flann O’Brien）在他的惊险小说《第三个警察》（The Third Policeman）中，由警官麦克克鲁斯肯（MacCruiskeen）制造的逐渐缩小的柜子的情景：
“六年前，它们开始变得不可见，玻璃的或不是玻璃的。没有人曾经看到我制作的最后五个，因为没有玻璃足够坚固可以用来把它们做得足够大，以便象曾经做过的最小的东西那样真实。没有人能看到我在制造它们，因为我的小工具是看不到。我正在制作的这个几乎小得和不存在差不多。第一个柜子以容纳它们一百万个之多，并且，如果将它们堆积起来，还有剩余的空间可以存放一双女人的马裤。亲爱的人知道它在哪里停并结束。”
“这个工作一定很费眼睛，”我说。
一气儿追溯到至少是梅斯特·爱克哈特（Meister Eckhart，1260？…1327？德国神学家，被认为是德国神秘主义的创始人。他的著作影响很大，内容主要是关于个人灵魂与神的统一——译者注），无穷小的概念等价于没有，如果要我们相信他的翻译者：“……（对）爱克哈特而言，在不定的人类和永恒的上帝之间的差别可以随心所欲地变小。”它仍然和我们在一起，象在银行的出纳员，他通过每天从许多客户的账目中汇集细小的几乎没有价值的千分之一进入他自己的账户就能富裕起来。如果一个曲棍球守门员在七次比赛中六次使对手不能得分，并且在持续整个冬天的赛季中有一个3小时51分54秒的不得分长跑，他就将被赞誉为零先生，就像弗兰克·布瑞穆斯克（Frank Brimsek）； 1938年胜利的波士顿熊队的队员就被称为零先生。
一个角色从所有被极小量说服的那些人中脱颖出来：高特瑞德·威廉·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz），1646年出生，德国外交官、律师、语言学家、哲学家、历史学家、地质学家和微积分学的创始人之一。即使当一个三角形的那些边消失时，他还不时说到三角形边的斜率依然存在；他时常从他的计算中删除可以忽略的小项。他说到他称dx为“无限接近”的两点之间在x值上的微分，但是也将它描述为一个“初始的量”。他说，他的零不是绝对的而是相对的。另一方面，他谈到它们作为正式的工具有同样的能力，就象虚数在代数学中成功地运用一样。
第三部分 费尽周折第28节 无穷小（2）
你必须求助于他的哲学来认真谈论这个dx是什么：答案令人震惊。莱布尼兹主张宇宙的最终要素不能被合成——如果是合成的，它们就不是最终的：你可以将它们分解成更简单的部分。但是在时间的任意时刻，空间的任意点总是可以被细分，至少在观念上可以。然而，我们每个人确实知道一个不可分割的最终的实体存在：也就是，本身。他称为“单子”（单子莱布尼兹学说理论中认为是构成物质世界存在的最基本的和不可分的单位——译者注）的这些点是概念上的或形而上学的点，你在你的内部，我在我的内部——或者更确切的说，我们每个人是一个单子。当你想到你的朴实、无亲无友的本身：纯洁的内涵，这时你能感觉到他是什么意思。也许这就是他为什么将说单子“没有窗户可以打开”的原因。对莱布尼兹来说，不可见的单独个体就是真实存在的单子——并且通常的单字只能靠想象。
而dx，是数学的无穷小单位吗？象他的单子，它也是活动的，不是呆滞的：每一个都作用于世界，动词多于名词。他更进一步，并称数学的点是他的单子的“观点”。对他而言，可见的空间世界实质上是单子的不可见结构的“平移”形成的。在我看来，单子是dx后想象的概念或它所预示的概念。更进一步，在他致力于发明基本原理的字母表中，dx也许已经表示“单子”。
如此形而上学的观点——在其中，零已经已经进入我们每个人的内心世界——是怎样引出一个充分描述并预测外部世界的数学呢？莱布尼兹会说，因为事物事先建立起来的协调。然而，与他的立场不协调是那些坚持运动只能根据运动来理解的人们：一个无论多么小的微粒，不是世界的本质，而变化本身才是世界的本质。另一个微积分的创始人，艾萨克·牛顿，在这里远远地盯着我们。
在清洁、传统的肖像中，他是第一个理性时期的思想家。约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes）读完了牛顿贮藏起来的论文，前来探视他，他的最深奥的本能，他的不可思议的目标：揭开上帝藏在布满星星的天空中的宇宙秘密。作为莱布尼兹的对手，他不过是一个活的单子，神秘的、内在的——并且只有最窄的和最稀少的窗口可以通向他的著作。1665年，当牛顿20多岁时，瘟疫席卷了伦敦和他所在的剑桥大学。他将自己藏在自己家的农舍内并开始解决运动的秘密。后来他确实说这是他一生中收获最大的两年。象他的老师巴罗，按照无穷小量来考虑，从一个精明的苏格兰人詹姆士·格雷戈里（James Gregory）那里引进符号“o”。因为他使用这个“o”的方法和前几页我们使用h一样——用它来加、乘、除——所以，当你甚至在比的分母中也看到�