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如果ab＝0，那么a＝0，b＝0或者a，b都等于0。
但是你马上会指出，在他熟练变换之后，仍然没有因式的积的形式，而是一个有变量与系数的项的积的形式，还有一个常数——这个条件怎么应用呢？即使可以利用，有什么意义呢？
永远不要低估一个术士。如果你看到他把 的方程式变换到x2＋10x…39＝0的形式，就会领会纳皮尔的思想。我们可以把左边写成怎样的积的形式呢？如果有一点聪明的话，我们就会知道x2＋10x…39＝0等同于（x－3）（x＋13）＝0。但若（x－3）（x＋13）＝0。那分两个因素之一一定是零：所以或者是x－3＝0或x＋13＝0。你马上就可以得出x＝3或x＝…13。
这个方法适用于一切，当我们所求的x是一个实数。在每种情况下，一旦你发现因数相乘后得到“等于‘无’”。可以把每个因式依次置为0，从而读出满足方程的x的结果值。这就是为什么我们的大桥可以竖立至今，我们的火箭能够降落在设置的地方。
这给我们带来了巧妙的方法，从这种途径考虑使用零：运用物理守恒的原理，经过一系列变化，结果不便。纳皮尔怎么想出这样一个我们现在不屑一顾地想当然的方法呢？“我的祖先生活在荒诞和真理的分界上。”纳皮尔阁下在1857年说。或许想象力需要这样的昏暗背景，这样的试探性的突破才会欣欣向荣。
但是纳皮尔的理论仍有严重的问题“一旦你找到了因式”——是的，但是怎样找到他们？各个项的移动遵循怎样的原则呢？就像要求把一个太极高手的一招一式用电脑打印出来一样。有些关键的规则是有所帮助的，互换的技巧。但是试图对一个代数式分解因式，会认识到数学是一种冒险，
如果你想要更加接近地审视这些介于工艺与艺术之间的技巧，当你发现狡猾的零一次又一次扮演另外的伪装角色将不会觉得吃惊。透过一个椭圆的窗子展望，远处越来越狭窄，新的发现越来越稀少。在最令人注目的位置，是一个任何一个初学代数者都熟悉的问题：解答
x2－1＝0
如果你放两个圆括号，把项x放在前面：
（x ）（x ）＝0
在每一个后面放一个1，看上去很合情合理。但是
（x＋1）（x＋1）＝0
得到x2＋2x＋1＝0，多出了2x和有着错误符号的1。再试试（x－1）（x－1）＝0，得到x2－2x＋1＝0，只是错误的不同。很显然，既然唯一可以放在每个括号内的整数是1，你需要可以抵消掉中间项，解决方法就是有一个因式内有＋1，另一个因式内有－1，可以得到：
（x－1）（x＋1）＝x2－x＋x－1＝0，
－x＋x＝0，得到了想要的分解后的因式。
注意到这里的零，乔装为－x＋x，为了完成使命很快的出现，然后又消失了，它甚至不出现在可以使这个技巧高贵起来的名字里面。“两个平方的差”（在这个例子中， 两个平方是x2和1；1于12相同）。两个平方的差，r2－s2＝0。现在可以轻松的分解因式为（r－s）（r＋s）＝0。这种魔力一半的功劳要归于我们熟悉的形式。
现在不管你什么时候看到类似于x2－64＝0的式子，都可以分解为（x－8）（x＋8）＝0。甚至x4－64＝0也适于这种形式，你可以把x4看作（x2）2，所以x4－64＝0分解因式为（x2－8）（x2＋8）＝0
但是，如果很偶然地你想对象x4＋64＝0这样的代数式分解因式，得到什么呢？再拿出0，现在它的作用更令人咋舌，更加背离常规。由于x4＋64＝0看上去很难处理。试着仍然写出有x2的因式的框架（x2）（x2）＝0，但是接下来怎么办呢？你必须在空白处填上8才会得到64，但是没有多项式能够满足：
（x2＋8）（x2＋8）＝x4＋16x2＋64
（x2－8）（x2－8）＝x4－16x2＋64
（x2＋8）（x2－8）＝x4－64
我们的头撞上的是两个平方的和而不是两个平方的差：（x2）2＋（82）2
回想一下我们对x2－1＝0分解因式的过程，可以得到帮助。照我们先前的做法来做，我们以－x＋x的形式在x2和－1之间插入了0：即
x2－x＋x－1＝0
分解为（x－1）（x＋1）＝0。同样的，我们需要在x4和＋64之间插入0，现在特别之处是要加和减一个完全平方，希望这样可以得到两个平方的差，这样就可以分解因式了。这种技巧是它的无名发现者仅存的成果。但是使用哪个式子呢？另外的一个无名氏碰巧找到了幸运的多项式：16x2－16x2。如果把它插入x4＋64＝0，可以得到：
x4＋16x2－16x2＋64＝0
这看上去不是特别有用，除非凭经验重新排列多项式：
（x4＋16x2＋64）－16x2＝0
一分钟之前我们刚遇到过前面的式子，就是（x2＋8）（x2＋8），即完全平方式（x2＋8）2，而且
16x2＝（4x）2
x2＋8是r，4x是s，即r2－s2 ，因此因式分解为（r＋s）（r－s），
（x2＋8）2 －（4x）2 ＝0
分解因式为
（x2＋8＋4x）（x2＋8－4x）＝0
这就是为什么0允许我们分解因式
x4＋64=0
从我们的椭圆向窗口看下去，0消失了，轻轻的敲打出更难解决的表达式
x4＋x2＋1=0？
插入这样0的形式x2…x2；重新这样排列：
x4＋2x2＋1…x2=0
也就是：
（x2＋1）2…x2=0
分解因式为：
（x2＋1＋x）（x2＋1…x）=0
那么x5＋x＋1=0如何分解因式呢？这儿添加的0的形式有一点庞大：
（x4＋x3＋x2）－（x4＋x3＋x2）
最终你将算出分解因式后的结果是：
（x2＋x＋1）（x3…x2＋1）=0
现在我们看到，0，是分解因式中的精心的舞蹈策划家，它在微积分中学中大显身手，进入最难理解的数学分支：数论。在这里，它帮助我们设计难以破解的密码。呈现出各种各样的伪装，它本身被想象力伪装。它也已经帮助我们理解了想象的本质，这是真的吗？威廉·布莱克说：“当你说想象根本无法在这个世界上找到时，你是明显无疑的在犯错误”也许，当他这么说的时候，他是对的。对我来说，这个世界是一个连续的充满想象或者幻想的世界。
第三部分 费尽周折第26节 令人愉快的天使（4）
不要在身后留下破坏
设想和事实的区别是：设想或许是你所期望的，而事实是世界所期望的。那么在数学上，什么情况下我们的假设与这个世界是相吻合的呢？思想的是不是犹如膜通过内外表面的交换而进行流通呢？是不是不知为什么，却盖上了同意的签章，以我们的经验，让数学比其他任何事情都肯定吗？我们做出的结论，既不是因为忠诚也不是因为权威，而是由审稿书的最后几行得出的。有时它们像肖邦华尔兹那样欺骗性的简单，有时又像贝多芬四重奏那样雄伟，然而这些都是音乐而不是数学。
约翰逊（Johnson）博士曾经说过，计算的好处在于它让在心中长期不定的事变得肯定。计算法则所依赖的基础是什么呢？现在分析一个方程式，复杂的问题最后归结为：如果ab=0，那么a一定为0，或b一定为0。这个事实来源于何处呢？让我们继续下去，不是顺着时间，而是随着已经作出的广泛探索，一定会有惊人的发现。
我们试图证明如果a不为0，而ab为0，那么b一定为0。让我们来看一下跷跷板的简图，有关方程式的所有恐惧心理均会被驱散掉：假设ab=0意为跷跷板平衡得很好，ab在一端，0在另一端。
为了保持跷跷板的平衡，无论你在一端做了什么，另一端也需要得到相应的处理。设定a不为0，即要证明b为0。既然a不为0，我们就可以对其进行分割——即一直向前走，把两边都分为a份，我们知道a/a即为1，因此左边即为1·b，也就是b。最后一步是另人满意的，0/a是（1/a）·0的速写。既然我们假定a不为0，则1/a为某个数，但是任何数与0相乘后均为0。平衡的跷跷板告诉我们b=0，而这也正是我们所希望的。
没有不懈的追求根本就称不上是对真理的追求。我说 因为任何数与0相乘皆为0。为什么我们把它认为是一道法令，难道就不能问一下为什么这是真的吗？顺着楼梯往下走，我们要从根本上说服自己，对任意数n（或者是a，或者是k，或者是任何一个匿名起诉人的化名，我们只是想在说到任意一个数时直接联系到其他数），n·0=0。我们知道两个相当深的真理。第一个是，任何数减去自己后就没有了：k…k=0，k为任意数。另一个真理是关于乘法和加法的：两个数的和与另一个数相乘，将两个数分别与第三个数相乘所得结果再相加，这两种算法的最后结果是一样的。即d·（e＋f）=d·e＋d·f，这就是分配律，很奇怪既然是基本原理，却很难记住和应用，孩子们总是将5·（7＋13）做错，因为这个答案应该是5·20=100，这与5·7＋5·13是一样的，而他们老是在一个数上忘记乘以5。
但是我们不会忘记。我们将这两个真理摩擦后即会迸发出火花，即n·0=0。既然0和k…k是一样的，我们就可以将n·0改写成n·（k…k）。现在应用分配律：n·0=n·（k…k）=nk…nk，nk仅为某一个数，于是nk…nk即为一个数减去自身，即为0：n·0=n·（k…k）=nk…nk=0穿过等式的桥梁，一边为n·0，另一边为0。
我们最终肯定是0吗？你认为在乘法中，0是个无效因子吗？对人类特性的考察始于法国革命的整肃，纯洁的人总是发现有人更纯洁。难道我们就不需要更基础的原理来支持以上的两个规定吗？如果我们做了，难道就不需要前提，顺着没有尽头的螺旋物到达火苗没有熄灭的地方？对于一个比从罗伯斯比尔（Robespierre）和革命群众那里得到的更加深刻的事实，推理所要求的确定性是达不到的，这是由推理思想本身的特性造成的。为了结束无限的回归，我们不得不在某一点上说：“我们掌握的这些定理是不言自明的”。
这些就是分配律，以及对于任意数来说k…k=0。如果你愿意（用希腊语意为认为值得），称这些最后的归结点为公理；或者仅仅因为出于论据考虑，接受罗马法庭的气氛，称之为基本原理；或者赋予它们额外的推理地位，就像直观的或赘述的定理；或者称它们是我们正好碰上的一场游戏的专断规则，或者是相关定理；或者从一开始就折射出了我们特殊的大脑工作的可能性：所有这些都承认我们没有其他的法庭去上诉，对我们自己而言，这些定理是显而易见的。
在我们所见到的建筑物的背后，我们是背景的转换者和操纵者：在世界从何来又向何处去的问题上，是不见其人的伴侣。这种抽象是伟大的典型不可避免的结果，永远的真实与永远的不被忘却是等同的。在这种稀薄的大气压力下，0将承担另一个变形体，那就是使自己适合苦行者的生活格言。
由于印度数学家将重点从它们是什么转移到了它们做了什么，我们看到了0变成了像其他数一样的一个数。后来，由于它们变得在解方程式中有价值，因此它们的地位得到改变，在谈到结构时，在语言中开始出现迹象，数字不再是抽象的事，而是一个实在的物。我们不仅可以说“四棵树”，而且可以只说4；不仅可以说是0个千，还可以单说0。现在由于我们试图明白这些数字是如何工作的，我们明白（用我们的格言）把它们放在一起就比它们本来单独存在时要多：如果我们完全理解了加和乘的操作，把数字相加或相乘的结果，就犹如在夏日里水果会成熟一样另人深信不疑。
分配的原理告诉我们加法和乘法是如何相互作用的。应用牛顿的观点我要思考什么，因此得到了其他的原理。牛顿研究万有引力，他停止问这是什么（流体、物质、力），而是问它是如何工作的。随着他的关注中心从古老的问题上转移到更加抽象的力学问题上，在重力的影响下，他发现天体间的相互吸引力与它们之间的距离的平方成反比。最终证实这对于理解这个世界，以及预测天体在宇宙中的位置非常有用。
用同样的精神，数学家们逐渐地不再追问加法和乘法是什么，而是坐下来开始整理它们是如何运算的。考虑到避免被无关的运算名称和符号所误导，遂用中性符号“*”表示，也就逐渐形成了以下原理：
1。将任意两个数a和b相加或相乘，将得到另一个数c。即a*b=c
2。a和b的顺序并不重要，结果是一样的，即a*b=b*a
3。当你对三个数a、b、c进行运算时，无论你如何组织它们，结果是一样的：a*（b*c）=（a*b）*c
4。有一个特殊的数，我们称之为e，对于任何一个数a与e相加或相乘，其结果均为a：a*e=a
5。对任意数a，还有另外一个数a’，当a与a’相加或相乘时就得到了这个特别的数e：a*a’=e
这些原理告诉你关于加法和乘法的所有规则，但是我们感兴趣的是加和乘，＋和·。用*其结果是什么呢？奇怪的是，似乎都可以描述。加并不是乘：2＋3≠2·3。经过这种严格的区分，我们还不简化自己吗？
0的出现拯救了时代，如定理4中所描述的那个特定的数字e是什么呢？对加法来说，e是0：也就是说a＋0=0。然而对于乘法来说e是1：a·1=a。0因为卸下历史加在它身上的布袋，成为加法的助手，为被加数本身。同样1也被分离出来，所有的数与1相乘后总是被乘数本身。重新回到*，我们必须区分它的两个形式：0≠1。
这个认识促使原理5也需要修改，对加法而言是对的，如果将*换为＋，e是0：每个数都有其负数a’，我们记为…a，因此a*a’就转化为a＋（…a）=0。在没有日期的评判方法之前，0表示界于过去与未来之中的现在。在复式的簿记上，0表示借款与贷款的平衡。正数通过这个神气的环，正数的求助于负数，尽管温斯顿·邱吉尔餐后的观点是这样的：
对数学我曾经有一种预感，我明白了它的全部，深奥的和浅显的都向我展示。有人可能看到了维纳斯像，甚至是市长阁下的展览，而我看到无限数字中的一个数，且看到它从正到负改变着自己的符号。我确实看到了这是怎么发生的；为什么背叛是无法避免的？但这是在晚饭后，我也随它去了。
但是对于乘法，原理5就不再完全正确了。我们说任何数除了0都有其倒数，通常记作 ，因此a*a’=e，即为 。0或许是加法的助手，而乘法保留了它的反叛地位。
顺便说一下，分配律意识到了加法和乘法中的不对称特点，它告诉我们a·（b＋c）=a·b＋a·c。但是你不能改变这里的＋和·的作用：a＋（b·c）=（a＋b）·（a＋c）这就不正确了。
沿着光荣足迹走过来的我们；非常困难去重新理解那些只有0和1是实数的规律，所有的其他数字以及其它行为都要受到这些