我：“阁下，对您所说的是很容易加以验证的。您说我具有你们称之为‘高’的第三维。那好吧，维是有方向和大小的。那就请您测量一下我的‘高’，或者指一下我的‘高’是沿什么方向延伸的吧。如果您能叫我知道，我就会信服您，否则就只好对您所说的敬而远之了。”
陌生人：（自言自语）“既测量不出来，也无法对他指出？怎样能使他信服呢？有了，先对他说几个事实，然后再实际演示一下让他看看，这肯定就能行了。——请再听我说，先生。”
“你生活在一个平面上。设想你称之为二维国的世界，就是人们称之为流体这个东西的广大的表面，你和你的国民们就在这个面上，或者说在这个面里活动，但是不能上升或下降。
“我不是平面图形，而是一个立体。你称我为圆，可实际上我不是圆，而是叠在一起的无数多个直径从零至十三英寸的种种大小不等的圆。当我切入你的平面时，就会在这个面上截成一个图形，这就是一个圆。瞧，我现在就是这样做的。因为对于一个球来说——球就是我在我那个国家里的名称——如果能向二维国民表示出自己的形状的话，也只能表现为一个圆。
“你记不记得你昨夜的一维国之行？——我是什么都能看见的，因此我已经看到了你脑子里存留的有关幻象。喂，你记不记得，在你进入一维国时，是如何不得不在国王面前显现为一条线而不是四边形的？那是因为一维国只有一个维，因而不足以表示出你的全貌的缘故。现在的情况也完全类似。你们二维国也同样没有足够的地方来让我表现出自己的全貌；我是个三维形体，因此在这里只能显现我的一个断面，这也就是你称之为圆的图形。
“你的眼神有点暗淡，这表明你仍不肯相信。但现在我就要用确凿的证据表明，我告诉你的都是真理。既然你没有能力把你的眼睛抬出你的平面之外，你就只能看到我的一个断面，也就是说，每次只能看见一个圆。可当我在空间上升时，你至少会看见我在平面上的断面是逐渐变小的。现在你来看，我升起来了……你看见的圆正变得越来越小，直到缩成一个点，并且最后消失。”
我看不见他的上升，只是看到这个圆一点点变小，最后便消失了。我眨了好几次眼睛，为的是弄明白是不是在做梦。这不是梦。从空中不知何处传来了飘渺的声音——它好象就贴在我的心口：“我离开了吧！好，现在我再渐渐回到二维国来，你会看见我的断面越来越大。”
球即将消失的一瞬
球正在升起 _____
_____ _。…〃 〃…。_
_。…〃 〃…。_ /
球的最大截面 / ｜ ｜
_____ ｜ ｜ ｜ ｜
_。…〃 〃…。_ ｜ ｜ ｜ ｜
/ ｜ ｜ ｜ ｜
｜ _。 。_ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
｜ _ …〃 〃… _ ｜ ｜ _ 。。 。。 。_ ｜ _ _ _ _ _ _/
｜｜ / …〃〃 ：》
｜ 〃…。__ __。…〃 ｜ 〃…。_____。…〃 我的眼睛
｜ ~~~ ｜
_ _/
〃…。_____。…〃
图 8
在三维国的每个读者都很明白，我这位神秘的客人所讲的话明摆着都是真实的。但我虽然说是二维国里一个精通数学的人，可这对于我却不是那么简单明白的事情。三维国里哪怕随便一个孩子，看了上面的那张很大略的图解，都会明白这是一个球在三维空间里上升时，对我或任一个二维国民表现为一个圆，而且开始时最大，然后就变小，最后变得极小，近似于一个点。而我却虽然看见了眼前的事实而依然感到莫名其妙。我所能理解的，只不过是这个圆使他自己变小和消失，然后又重现并迅速变大。
当他又恢复到原来的大小时，大声地叹了一口气，因为他从我的沉默中觉察到我仍完全不理解。确实，现在我倾向于相信他全然不是个圆，而可能是个高明的魔术师，要不然就是真象有些老婆婆们所说的那样，世上毕竟还有巫师方士之类的人。
又沉默了许久之后，他又自言自语了：“如果我不靠行动证明的话，至少还能有一个办法，那就是试一试类推法。”
随后，他又同我讲起话来。
球：“数学家先生，请告诉我，如果一个点向北移动，留下一条发亮的轨迹，你称这条轨迹为什么？”
我：“一条直线。”
球：“一段直线有几个端点？”
我：“两个。”
球：“现在设想这条线沿东西方向移动，它的每一个点所产生的轨迹都形成一条直线，这样形成的图形叫什么？我们假设这段线平移的距离与其本身等长。说说看这叫什么？”
我：“一个四边形。”
球：“一个四边形有几条边？几个角？”
我：“四条边、四个角。”
球：“再开动一下脑筋，想象一下在二维国里有一个四边形一致地向上移动它自身。”
我：“向哪里？向北吗？”
球：“不，不是向北，是向上，完全脱离二维国。”
“如果这个四边形向北移，它在南边的点必定会通过北边的点原先所占据的位置。这个不是我的意思。
“我的意思是你身上——因为你就是个四边形，所以我就以你为实例来说明——的每一个点，也就是你认为位于你身体内部的每一个点都向上通过空间，使你身上没有一个通过其它一个点原先所占据的位置，但每一个点本身都描绘出等于自己的一条直线。这正是地地道道的类推法。你一定明白了吧？”
现在我真感到一种强烈的冲动，想不顾一切地冲向这位来访者，把他抛出去，把他赶出二维国，把他弄到随便什么地方去，以使我能摆脱他。但我还是极力克制住了自己的厌烦情绪回答道：“你乐于用‘向上’这个字眼来表示的这种运动使我形成的这个图形会有什么性质呢？我想，用我们二维国的语言是可能描述出来的吧？”
球：“当然，这一切都是简单明了的，而且完全可以类推出来。顺便也得提一下，你不能说结果得到的是一个平面图形，而是一个立体，我会向你描述它，更确切他说，是类推法会向你描述它。
“开始，我们是有一个点。当然，既然它本身只是一个点，所以只有一个端点。
“一个点产生一条线，它有两个端点。”
“一条线产生一个四边形，它有四个端点。”
“现在你能回答你自己的问题了：1 ，2 和4 ，显然是几何级数。它的下一项是什么？”
我：“8。”
球：“对。这个四边形产生了一个你不知道的东西，我们称之为立方体，它有八个端点。现在你相信了吧！”
我：“这种东西有边吗？有角吗？有你们所谓的端点吗？”
球：“根据类推法来看，它当然都有。但是还得提一句，它的边可不是你们的那种边，而是我们所说的‘面’，也就是你们所说的立体。”
我：“那么，由我的身体向这个所谓‘上’的运动而产生的这个你叫做立体的玩艺儿有几个立体，也就是你所说的面？”
球：“你怎么也问起来了？你不是个数学家吗？任何物体所有的‘边’这里是笼统地一概这样称谓的总比具有它的物体在维数上低一
个。一个点没有维，它有零个边；一条线可以说有两个边——因为可以称一条线的两端为它的边；一个四边形有四个边。于是便有0 ，2 和4。你叫它什么级数？“
我：“算术级数。”
球：“下一项是几？”
我：“6。”
球：“太对了。你看你已经回答了自己的问题。由你产生的这个立方体由六个边组成，也就是说，有六个你的身体。你现在全明白了，嗯？”
“你这个大怪物！”我厉声叫道，“你这个变戏法的，弄巫术的，托恶梦的，耍花活的东西！我再也不能容忍你对我的耍弄了！我跟你拼个你死我活！”一边说着，我一边向他奋力冲去。
17。 徒劳一场的球又求助于行动
真是徒劳！我用自己最坚硬的一只角猛地向这个陌生人戳去，用足以杀死一个圆的力量向他压去，但只感觉到自己根本用不上劲，因为他从我这里滑脱开了，既不是向左，也不是向右，真说不出他究竟是怎样离开的。人虽然不见了，我还能听到这个入侵者的声音。
球：“你怎么不讲理？我本希望你——一个通情达理的人，一个有造诣的数学家——能成为一个三维真理的合格的热心倡导者呢！对于三维世界的真理，我一千年也只能宣传一次。可现在，我真不知道怎样才能使你相信我的话。且慢，有了。我来用行动代替语言来宣示真理吧。我的朋友，请听我说。”
“我已经告诉过你，从我所在的空间能够看见你们认为是密闭的一切物体的内部。例如，在你的附近，我看见你的小橱柜里有几只你们称之为盒子的东西（像二维国里的其它东西一样，它们既没有顶也没有底），那里面放满了钱。我还看见那里面有两本帐簿。我这就降下去，进小橱里去拿它一本出来。我曾看见你在半小时前锁上了那口小橱，还知道你拿着钥匙。
……我从空间降下来了……你看，这些门原封未动……我已经拿到了小橱里的一个帐本……我又上升了……“
我冲到橱柜前面，使劲拉开柜门。真有一本帐不见了！陌生人又带着一阵嘲笑声，在房间的另一隅露面了。这时，那个帐簿也出现在地板上。我把它拣起来。不错，肯定就是刚才不见了的那一本。
我恐怖地呻吟着，怀疑自己是否失去了理智。陌生人又继续说道：“真的，你现在该明白了，我的解释是说得通的，而且也只有我的解释是说得通的吧！你们称为立体的东西，其实都只是极薄极薄的扁片；你们所谓的空间，实际上只是一个很大的平面；我在空中鸟瞰这些物体的内里，而你们只能看见它们的外皮。如果你能鼓足勇气，自己就能离开这个平面，只要稍稍升起一点或下降一点，你就会看见我所见到的一切。
“我升得越高，你的平面就离我越远，而我所能看见的就越多。当然，我所能看到的一切会越来越小。例如，我正在上升，现在我能看见你的一个六边形的邻居和他家的几个房间……我看见戏院里的十扇门都打开了，观众刚散场出来……在另一边有个圆正在他的书房里，坐在许多书边……现在我要回到你这儿，而且做为一个王牌证据，我将极轻地触摸一下你的内脏，看看你会怎么想。这对你不会有任何伤害，与你将能得到的精神上的收获是不能相提并论的。”
我正要提出抗议，突然感到腹内一下刺痛，好像还从我身体里发出一阵大笑。过了一会儿，这阵突如其来的疼痛消失了，只留下一点麻木感。陌生人又出现了，他渐渐变大起来，说：“我没有伤害你，是吧！如果现在还不能使你相信，我可就无计可施了。你还有什么可说的吗？”
我下定决心，再也不能让这个专横跋扈的神秘来访者肆意搞什么名堂让我的肚子发痛了，但愿我能成功地把他牢牢在墙上钉住一会儿就好了！
我又一次用我最坚硬的角向他戳去，还大声喊着，以把全家人叫醒前来相助。我相信，在我的攻击下，陌生人这下子看来很难再滑脱了。不管怎么说，他现在已不再有什么动静。我觉得仿佛听到有人前来给我帮忙了，便加倍努力地顶住他，一边继续高声求助。
一阵猛烈的颤动通过球的全身。我好像听到他说：“不，绝不能这样。要么是让他服从理性，要么是我向文明的最后成果求助。”说完这句话后，他对我大声叫道：“没有必要让别人看到你所看见的一切！叫你妻子立即回去，不要让她进来！三维的真理不会就这样失败的。不要白白地等待又一个一千年的流逝！我听到她来了。你走开，走开！快离开我，否则你就得随我一道离开这里去三维国，你的结局如何可就难说了！”
“坏蛋！疯子！不规则的东西！”我叫喊着，“我决不放开你，你该受冒名顶替的处罚！”
“呸！你竟然敢这样说！”陌生人勃然大怒，“那你送死去吧！从你的平面上消失吧！一、二、三，跟我走吧！”
18。 我如何来到三维国，以及在这里的所见所闻
一种难以言传的恐惧攫住了我。我面前先是一团漆黑，然后又变成一片纷乱，根本不像是真用眼睛看到的景象。我看线不像线，看空间不像空间，甚至看自己都觉得不像自己了。我好不容易才能转动自己的舌头，于是便拼命叫起来：“这儿是个疯狂世界，要不然就是地狱！”
这位球用平静的声音回答道：“二者都不是。这儿是真知世界，是三维之国。你再睁开眼睛，平心静气她看看吧”
我睁开了眼，于是看到了一个新世界。
出现在我面前的是一位真的可看见的圆，它比我以前靠推断和猜想捉摸出的圆更为完美。这个陌生形体的中心部分完全显露在我的眼前，但我却看不见他的心、肺和血管。我所看到的只是一个漂亮而匀称的东西——你们三维国的读者们称之为球面，可在我们那里却找不出词语来称呼它。
现在，我在精神上完全被这位引路人折服了，于是喊道：“啊！您真是美和智慧的化身呀！我能看到你的内里，但那里怎么没有内脏呢？”他回答说：“你以为看到了我的内里，其实并非如此。我和二维国的国民是不同的种族，任何人也看不到我的内脏。如果我是个圆的话，你的确能看到我的肠胃，但我曾告诉过你，我是由许多圆构成的一个球体；就像立方体的一个面是四边形一样，球的外表轮廓表现为圆。”
虽然这位老师高深莫测的谈论仍令我困惑不解，但我原来的火气再也没有了。我从内心里开始崇拜他。他用温和的口气继续说道：“即令一开始时你无法深入了解三维国的情况，也用不着苦恼。你会一步步了悟的。让我们先一起回首你的故土二维国瞥上一眼吧。我会让你看看你常常思考和推断，但却从未真正看见过的东西——一个可以用眼看到的角。”
“这不可能！”我叫起来。
然而，我在他的带领下梦游般地行进，直到他的声音又将我唤回现实：“看那边。那里就是你家的五边形房屋，还有住在里面的人。”
__
# 五边形 ；~ ｜~。
；…~ ｜我~…。
* 六边形 ；~ # ｜ 的 ~。
；…~ ；~｜ 书 ~…。
》 或 《 ；~ ；… ｜ 房 ~。
三角形 ；…~ # ；~ 子 ~。