丑戌未三刑→8×6×2＝96 →化6
太乙宫位中“4”宫为震卦，“6”宫为兑卦，如果震兑归位，则震为伤门，兑为惊门，故它们俱有刑伤之象。
＇二＇
八卦对冲——
肆互壹局中的数理规律，因其属先天逻辑，故我们可以再用先天八卦去分析。
我们前面已提到，地支之六冲俱化中宫之数“10”或是“零”，这在后天八卦中是看不出这种“化中宫”的迹象的。若在先天八卦里则十分明显了。因为先天八卦对待之卦各爻极性全部相反〔 对 、 对 、 对 、 对 〕，相互作用时阴阳极性全部泯灭变成中和“零态”。阴阳极性泯灭，意味着没有信息出入，处於死寂状态。也可认为两卦对冲后离开了八宫而进入中宫，从而消失，灭亡，“冲散”。
八卦之合——
先天八卦相合，我们可以仿六合六害之法作出下图：
＇图，先天八卦的相合关系＇
八卦之合有四组：震坤相合，离艮相合，兑坎相合，乾巽相合。它们的化数也是“8”；换言之，是奇点震卦，为创生之象。从卦象上看，的确也有合而为一的自我相关之象。
我们知道，两个卦相互作用就会各自产生变化，而八卦之变是从初爻变起的。相合之卦都有一个共同特点：上两爻全同，而初爻相异。若各卦初爻阴阳极性发生变化，便会马上变为相合之卦。以坤震相合为例：
震卦之初爻由阳变阴即成坤卦；坤卦之初爻由阴变阳即成震卦 。
余可类推。
此外，地支六合中巳申合被称为“刑合”；为什么它既刑又合？这是有原由的，因为四隅之卦都配上了两个地支，从地支的角度看，地支似乎是十二个量，而从八卦的角度看，却只允许有八个量，只不过是四隅各卦分别被配上了两个地支。如果地支六合按八个量构成对称图，则“巳申”相合和“寅亥相合”便会出现不协调的杂音，见图：
＇图，巳申刑合与洛书＇
从十二地支各自分立的角度看，巳申、寅亥是标准的相合，即数理相合图像也相平行；而从八卦分立的角度看，巳申、寅亥数理相合而图像产生了歧变。所以，真正的刑合应当包括“巳申”刑合和“寅亥”刑合。由此我们可以得知，巳申寅为恃势之刑就不难理解了——恃什么势？恃的是相合之势也。
从卦理上分析“巳申寅”为三刑，“寅亥申”也应当为三刑。但三刑是对三合局的反动，是“歧异之象”，每支只取一次，故不可滥推。
八卦相害——
按地支六害的规律，先天八卦也有相害之象，包括兑离相害、乾震相害、巽坤相害、地艮相害。
＇图，先天八卦与相害＇
图注：在先天八卦里，卦之相合是阴阳两个阵营之间的关系〔即一、二、三、四与五、六、七、八之间相合〕；而相害则是自家阵营之间〔即一、二、三、四内部和五、六、七、八内部〕的关系。
八卦相害也有一个共同特征：上两爻极性相反，而初爻极性相同。相害之卦相互作用，则初爻最先产生变化，初爻一变，相害之卦则变成对冲之卦。以兑离二卦为例：
兑初爻变即成坎，与离对冲；
离初爻变即成艮，与兑对冲。
余可类推。
在此还要讨论一个问题：肆互壹局的组合是否具有唯一性？
三合局和六冲具有组合的唯一性自不必说，三刑是由奇性带来的组合，并不具有唯一性，这是奇点性质所给予的，但六合六害是否有唯一性呢？
十二地支的平行组合还有两组，见图。
＇
＇图，其他的地支之平行组合＇
从洛书之化数可知，这两组相互关系有不一致之缺陷：
子乘亥→1×6＝6 →化6
丑乘戌→8×6＝48 →化8 →歧异
寅乘酉→8×7＝56 →化6
卯乘申→3×2＝6 →化6
辰乘未→4×2＝8 →化8 →歧异
巳乘午→4×9＝36 →化6
上述算式中，辰戌丑未之化数歧异，丑戌未土为三刑即由此而出。
寅乘卯→8×3＝24 →化4
丑乘辰→8×4＝32 →化2 →歧异
子乘巳→1×4＝4 →化4
亥乘午→6×9＝54 →化4
戌乘未→6×2＝12 →化2 →歧异
酉乘申→7×2＝14 →化4
此组乘式中，也是辰戌丑未为歧异之数。辰戌丑未本为中土，地支中分列於木火土金之四季，故多有歧异之性。
从上面的分析我们可以看出，肆互壹局的组合是严密的逻辑的产物。
＇三＇
肆互壹局各自的等价是建筑在象的平行对称等价和数的同余等价之上的。这一计算方法并不偶然，因为“同余”本是易学最根本、也是最常用的计算方法。
同余式属于数论中的不定分析，据刘钝氏的研究：它的起源就是《周易》和古代的制历。现将刘钝氏的论述引用于下：
同余概念的一个来源是《周易》中的占筮方法。关于这一方法的细节，历代学者解说不一，但本质上都是反复将一定数目的蓍草或筮策均分后剔除所余，以期求得事先约定好的与爻符对应的数字。现在我们采用多数易学著作对《系辞传上》“大衍之数”一节的解释，具体说明这一过程：
“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于仂以象闰，五岁再闰，故再仂而后挂→是故四营而成易，十有八变而成卦。”
蓍策总数为50根，去其一以象征太极，实际用于占筮的是49根，故称“大衍之数五十，其用四十有九。”随意将49根蓍策分成两堆分置案面左右，象征太极生两仪，故称“分而为二以象两”；然后从左边一堆蓍策中取出一根仂在左手四、五指间，称为“挂一以象三”，象征造分天地后又生出人，合为三才；继而将左、右两堆蓍策每4个为一组地数出，这叫做“揲之以四以象四时”，象征一年中四季的运行；左、右两堆所剩蓍策之数称为“奇数”，“奇数”必为1、2、3、4四个数字之一，将它们仂在左手三、四指间，称为“归奇于仂以象闰”，象征闰日；左、右两“奇”各“ 仂 ”一次，则附会古历五年置二闰月的制度，故称“五岁再闰，故再仂而后挂”。以上过程称为一变，包括“分二”、“挂一”、“揲四”、“归奇”四个步骤，故曰“四营而成易”，“易”就是变化的意思。经此一变，左手上所仂策数非5即9，案面则还剩44或40根蓍策参与二变。
何以一变后左手所仂数目非5即9呢？这里暗用了同余式的一个重要性质：
若A≡R1〔mod m〕，B≡R2〔mod m〕，
则A＋B≡R1＋R2〔mod m〕
在以上一变过程中，A、B分别代表“挂一”后左、右两堆的策数，A＋B≡48，R1、R2分别代表两次“归奇”的策数，m=4，因此有
R1＋R2≡48〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
这表明R1＋R2是4的倍数，又因为每一“奇数”必为1、2、3、4四个数字之一，所以两次“归奇”的总数等于4或8；再加上先前的“挂一”，一变后左手所仂策数必为5或9，而所乘策数为44或40。
从第二变起不再“挂一”，经过“分二”、“揲四”、“归奇”三个步骤，可得
R1＋R2≡44〔mod 4〕≡40〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
同理可知二变“归奇”的总数等于4或8，将它们仂 于左手二、三指间，则案面所乘参与三变的策数必为以下三者之一：44－4＝40，44－8＝40－4＝36，40－8＝32。
仿此，在三变中“归奇”之数有
R1＋R2≡40≡36≡32≡0〔mod 4〕
总数也应等于4或8，仂于左手一、二指间。此时左手所仂策数最多为25，案面所剩策数则为以下四者之一：40－4＝36，40－8＝36－4＝32，36－8＝32－4＝28，32－8＝24。
以上四数俱为4的倍数，以4来除商数分别是9、8、7、6。三变的目的就在于获得这四个数字之一；其中9、7对应于阳，8、6对应于阴，三变占得一爻。同样的程序重复六次即得一卦，故曰“十有八变而成卦”。这就是《周易》筮法的成卦过程。十分显然，这一方法的创造者是具有原始形态的同余概念并通晓其某些性质的。
由于《周易》在中国古代文化中的特殊地位，其筮法受到力图借数学“通神明、顺性命”的数学家的重视就不足为奇了。高度机械化的成卦过程是否对中国古算产生影响姑且不论，仅就同余概念的发展布而言，《周易》确实是一个重要的来源。秦九韶不但将自己最得意的成果命名为“大衍求一术”，而且借着卦发微题引进一个不同于《周易》筮法的占筮程序就是一个明证。〔刘纯《大哉言数》辽宁教育出版社〕
……
同余概念的另一个来源是古代制定历法的需要。古代历家根据长期的观测记录，已能推算日、月、五星的运动周期并由此规定各自的起点，例如回归年即以冬至时刻为起点，朔望月即以平均合朔时刻为起点，而干支记日则以甲子日夜半零时为起点，它们一般并不同时。为了推算上的方便，古代历家引进了一个叫做上元的概念，即假定远古某一时刻各种天文周期恰好处于同一个起点上，这一起点就是上元。自上元到本年经过的年数叫做上元积年，在测得本年相关周期的起点后求上元积年的问题，就是一个解同余式组的问题。例如已知A为回归年日数、R1为本年冬至距其前一个甲子日零时的时间、B为朔望月日数、R2为冬至距前一个平朔的时间，那么上元积年x满足下面的一次同余式组
Ax≡R1〔mod 60〕≡R2〔mod B〕
实际计算中要对上式中的A、B、R1、R2进行通分以使所有数字化为整数。如果再假定月球的近地点和升交点以及五星运动周期的起点均在上元，那么上元积年的计算就要考虑更多的同余式。
这一结论得到了历代史志和天文学史研究的支持。新近的研究表明，早在西汉末年刘歆编制《三统历》的时候就已引入了上元的概念，并实际计算了《三统历》和古四分历的上元积年数据，其计算过程有赖于一类特定的一次不定方程或同余式组的求解。东汉刘洪的《乾象历》首先将上元积年数据列为历法第一条：“上元乙巳以来至建安十一年〔206〕丙戌岁，积七千三百七十八年。”以甲子为上元则始于西晋刘智的《正历》：“推甲子为上元，至泰始十年〔274〕，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。”其后王朔之《通历》、后秦姜岌之《三纪甲子元历》都有关于甲子上元的记载，而祖冲之的《大明历》更是在考虑了9个同余关系的基础上计算出上元积年来的。因此成书于南北朝时代的《孙子算经》中的物不知数问题，绝不会是作者向壁虚构的智力游戏，而很有可能是对当时历家推算上元积年问题的数字概括。
从刘歆直到元代郭守敬以前，中国的历家往往把毕生心血倾注在上元积年的推算上，埋头于各种天文周期的测验；因而从某种程度上来讲，一部中国古代的历法史，几乎就是上元积年的演算史。与此密切相关的一次同余式组的理论和算法，就是在这种背景下发展起来的。
其实，同余计算在易学中很常见，因为只要是周期性循环的运算，大都要应用到同余，而易学特别是术数部类中的周期性循环计算和操作特别多，几乎每一术数分支都是以同余运算为基本运算方法，甚至可以说离开了同余运算，此分支就不复存在。诸如六十甲子、六十纳音、四柱中的起大小运和星神取用、奇门遁甲的飞宫、三元地理的飞星、六爻的配六兽，大六壬的起课，紫微斗数的排宫，等等等等，无一不运用同余计算。例如六十甲子就是两种同余计算的组合，天干是以10为模求余，地支是以12为模求余。此外，梅花易数的数字起卦法，也是以8为模求余，而求动爻之法，则是以6为模求余。
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第 2 楼
第二节 复数散阵
＇一＇
洛书数不是孤立的三阶幻方和数阵，我们还可以运用一种“相反极性”的逻辑来重新理解洛书的“平行对称性”和“平行等价性”。
若要利用“相反极性”的数理模型给洛书建立一种新的解释方法，还必须遵循两条原则：
1、新的数理模型必须同洛书是处於同一层次的数理模型；因为洛书是最简幻方，故新模型也必须是某种最简的数理模型。
2、由于“相反极性”的逻辑有相反的手征性，故新数理模型必须进行手征性反相。
在此，我们建立的最简“复数散阵”则是满足上述条件的“新洛书方阵”。
我们已经知道：八卦本是圆上的八个矢量，故八卦图实际上是一种平面复数的坐标图，其坐标原点是圆心〔即中宫〕，洛书则是用正整数模拟圆的一个坐标方阵。但是，现在我们可以更直接地用复数平面坐标图来标示此图：
＇图，复数平面坐标图＇
图注：此图左东右西、下北上南。我们之所以用横轴表虚数而纵轴表实数，下、左为正而上、右为负，是根据上述原则来予以手征性反相的。此外，复数的排列也严格按照坐标图实部和虚部的实际顺序排列，也没有按照西方数学中强行规定的左实右虚的排列方式。这一手征性的反相，是东西方文化比较学中被人忽视但至关重要的一环，结论之正误往往因此而导出。
上图排入九宫格，即成“复数散阵”：
＇图，复数散阵＇
此图亦有若干与洛书相同的性质：
1、过中宫之连线上的三数之和相等，具有圆之象；
2、冲、合、害和其他类似的运算之得数与洛书相同，而且更直截了当。
我们按这两条性质一一分析。
相冲——
＇图＇
相冲之化数直接等於中宫之数。它意味着中宫之数“五”与“零”等价。
相合——
＇图＇
相合也直接计算出了八宫之数。
相害——
相害俱直接得“2”宫之数。
子卯相刑——
＇图＇
子卯刑得伤门之数。
其他化数——
＇图＇
上述运算不仅可以直接求出所化之宫数，而且在多项式的计算过程，连交换律都无须使用，可以直接计算出各宫数的原貌。洛书三合局和三会局之计算，还要通过太乙宫位的转换，而复数散阵却可以直接计算出所对应之宫。
三合局——
申子辰合水局：
＇图＇
震兑二宫反相，则各局化数与宫位吻合。
三会局——
亥子丑会水局：
＇图＇
奇点之震兑二宫互换，则其化数与会局五行吻合。
上面是按八个矢量〔即八卦〕计算的，下面我们还要进一步从十二地支的角度予以考察。我们认为，从数理的角度考察，十二地支是对於复数散阵的一种模拟。我们的理由是：
一、十二地支是一群模棱两可的单元；它们似乎是十二个矢量，可以指代十二月、十二时辰、十二经脉等，但它们又似乎是八个矢量，其中四隅各自以两支合成一个矢量〔卦〕而指代西南方、东南方，西北方、东北方，十二支一共只指代八方。这一点与复数之性质相同，因为四隅之 、 、 ， 既是一个数，又像是两个数。
二、如果把复数散阵里的八个数看成是十二个数，配上十二地支可得下图：
＇图，复数散阵与十二地支＇
肆互壹局中若干计算和歧异现象都可从此得到直接显现：
六冲——
＇图＇
诸对冲之支所配之数相加全部等於零，为中宫之数。读者可自行计算。
六�