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在此，我们从希腊文献中所承袭来的且仍在使用的那些古典的名称，也掩盖了诸多的事实。“几何学”指的是度量的艺术，“算术”指的是计算的艺术。西方人的数学早就与这些下定义的方式脱离了关系，但它还没有办法为自己的对象给出新的名称——因为“分析”这个词是远远不够充分的。
古典数学自始至终都在考虑各别实体及其边界…表面的特性；所以也会间接地考虑到二次曲线和高次曲线。相反，我们归根结底只知道“点”这个抽象的空间要素。点，既不能看到，也不能被度量，当然也就不能被定义，它只代表一个参照系的中心。直线，对于希腊人而言只是一个可度量的边界，可对于我们而言，却是点的无限连续体。莱布尼茨在说明他的微分原理时，曾把直线描述为圆的一种极限情形，把点描述为圆的另一种极限情形，前者圆的半径为无限大，后者圆的半径为无限小。但是，对于希腊人来说，圆乃是一个平面，而他们所感兴趣的，乃是如何才能使圆变成可以度量的状态。因而，如何把圆变成正方形，便成为古典心智最最重要的问题。古典的世界形式中，最深奥的问题，便是在不改变大小的情况下，如何把由曲线围成的表面变成矩形，从而使它成为可度量的。可另一方面，对于我们而言，这个问题太过稀松平常，没有什么特别的重要性，实际上，我们可以借助代数手段来表达π这个数字，而不用考虑其几何形象。
古典数学家只能知道他所看到的和把握到的。他所思考的领域，就在于明确的、可下定义的可见性，当这种可见性不复存在时，他的科学也就走到了终点。而西方数学家，一旦完全摆脱了古典偏见的束缚，便进入到一个全然抽象的领域，进入到无限多“维”的n度空间，而不再只是三度空间。在此n度空间的抽象领域里，他所谓的几何学，通常都不需要任何常识的帮助，一般来说，也不必这样的帮助。当古典人在艺术中来表现其形式感时，他都会使用大理石和青铜去赋予那些舞蹈的或角力的人体以各种姿态，在那里，大理石和青铜的表面和轮廓全都具有一种可把握的特性和意义。但是，真正的西方艺术家却闭上眼睛，沉迷于无形体的音乐的王国，在那里，和声和复调把他带入全然“超脱”（beyondness）的形象中，这些形象超越了一切可加以视觉定义的可能性。人们只需要思考一下“形象”（figure）这个词在希腊雕刻家和北方的对位作曲家的使用中各自的意义，就能明白我们所说的意思了，就能直接地描述这两个世界、两种数学的对立了。希腊数学家一直用σωμα（身体）一词来表达他们的实存，如同希腊的法学家用这个词来表达与物有区别的人（σωματα και πραγματα：法人）一样。
因此，古典的数——整数和实数——不可避免地力图把自身同有形体的人的诞生联系在一起。数字1几乎还不被视作是一个实际的数，而是被视作αρχη（始基），整个数系的基质（prime stuff），是所有真正的数的源头，因而也是所有量、所有度量和物质性的源头。在毕达哥拉斯学派的盟会中（日期并不重要），1这个数的图示符号也是母体子宫的象征，是所有生命的源泉。2这个数是第一个真正的数，是双重的1，故而和男性原则有关，且被赋予菲勒斯的符号。最后，在毕达哥拉斯学派那里，3是一个“神圣的数”，指谓着男人和女人的结合，代表了繁殖的行为——这一色情的意味在加法和乘法（古典人所仅知的两种数量增加或繁殖的运算方法）中是显而易见的——而它的符号则是前两者的结合。就这样，所有这一切都对前面提及的有关揭示无理数的亵渎行为的传说给出了一种全新的解释。毫无疑问，毕达哥拉斯学派对古典宗教的改革，本身就是建立在古老的得墨忒耳崇拜的基础上的。得墨忒耳（Demeter）、盖亚（Gaea），都与地母有关系。在加于她们身上的荣誉与这一受到推崇的数字概念之间，存在着一种深刻的联系。
因此，不可避免地，古典文化渐渐地成了一种注重“小”（small）的文化。其阿波罗式的心灵试图借助可见的界限这一原则来把捉既成之物的意义；它的禁忌集中施于直接在场的、最最接近的陌生事物上面。至于那些玄远的、不可见的东西，事实上都是“不存在的”。希腊人和罗马人一样，都把自己的热情献给了他赖以寄居的那个空间范围的神灵；所有其他的神灵都是视力所不及的。恰如希腊语——我们将一次又一次提及这种语言现象强大的象征意义——没有用以表达空间的词一样，希腊人自己也缺乏我们对景观、地平线、展望、距离、云彩等所具有的那种感受，缺乏对广袤无涯的、环抱着伟大的国家的国土的观念。故土，对于古典人来说，就是他从家乡小镇的城堡一眼能望见的一切。所有超出这一政治原子的视力范围之外的一切，都是陌生的，也是有敌意的；超出了那一狭窄的范围，就会顿生恐惧，因此，由于这种不堪忍受的痛苦，那些小镇总是相互倾轧。城邦是所有可以想象的国家形式中最小的，它的政策是直接针对小范围的，这与我们自己的内阁外交是极度不同的，后者的政策是无限范围的。同样地，古典的神庙是所有第一流的建筑中形制最小的，一眼便可以看尽。古典几何学，从阿基塔斯到欧几里得——今日学校里所学的几何学，仍是以它为主导——所关心的只是小的、可以处理的图形和物体，因此对绘制天文维度的图象时会产生什么样的困难一无所知，因为在许多情况下，欧几里得几何学对于绘制天文图象根本不适合。如果不是古典文化太局限于微小而切近的事物，则精妙的阿提卡精神，几乎可以确定，必能解决非欧几何的某些难题，因为它曾对著名的“平行”公理提出过批评，虽然它的怀疑很快引起了反对的意见，但并未获得合理的阐明。这一批评实际上十分接近于非欧几何的决定性的发现。古典心灵不加怀疑地投身于或者说把自己局限于小的和切近的东西的研究，就如同我们的心灵不加怀疑地投身于或局限于无限的和超视觉的事物的研究一样。西方人凭自己发现的或从别人那里借来的所有数学观念，都自动地从属于微分的形式语言，并且早在真正的微积分发明之前就已经这么做了。阿拉伯的代数、印度的三角、古典的力学，事实上全在数学分析中被合并为一个东西了。甚至连初等算术中最“自明的”算式，如2×2=4，一当以数学分析来考虑，也变得有问题了，而对这些问题的解决只有通过集合理论的演绎才是可能的，可即便如此，还是有许多难点未能解决。柏拉图和他的时代也许会把这种东西不仅看作是错觉，而且看作是一个全然非数学的心灵的证据。在某些情形下，几何可以用代数的方式来处理，而代数也可以用几何的方式来处理，这就是说，我们的眼睛可以闭上，也可以让我们的眼睛来统领一切。我们采取的是前一种态度，而希腊人采取的是第二种态度。阿基米德在对螺线作的美妙的处理中，已经触及到了某些一般的事实，这些事实在莱布尼茨的定积分方法中也是基础性的；但是，阿基米德的研究，即便与近代的研究有着一切表面的相似，也仍是从属于测体术的原则的；同样的情形，印度的数学家自然也可以发现某些三角公式。
十三
从古典数字与西方数字的这一根本对立中，产生出了一个同样根本的区别，那就是要素间的关系在这两个数字世界中的区别。在古典数学中，数量之间的联系被称作比例；在西方数学中，关系之间的联系全包含在函数的观点中。“比例”和“函数”这两个词的意义不只局限于数学；它们在雕塑和音乐这两个相关的艺术领域也极为重要。除了在单体雕像各部分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁画等典型的古典艺术形式，都有尺度的扩大与缩小——而在音乐中，这些词便毫无意义——正如我们在钻石艺术中所看到的，在那里，主题本质上是原石料按比例的缩小。相反，在函数的领域，具有决定性的重要意义的，乃是群的转换（transformation of groups），而音乐家也乐于承认，同样的观念在现代作曲理论中也具有本质的地位。我只需提及18世纪最美妙的一种管弦乐形式——变奏曲，便足可证明这一点。
所有的比例，都是基于各要素的不变性，而所有的转换，都是基于各要素的可变性。例如，比较一下对称定理的不同证明：欧几里得对它的证明事实上有赖于一个事先假定的1：1的比率，而近代数学是通过角函数来演绎出相同的定理。
十四
古典数学整个地是一种构成（construction）（广义上说，它包括初等算术），也就说，是某个单一的、在视觉上在场的图形的生产。在这一可称作第二雕刻的艺术中，圆规就是它的凿子。而另一方面，在函数研究中，对象不是以体量大小表现出来的结果，而是对一般的形式可能性的讨论，其工作方式可最好地描述为是一种与音乐十分类似的作曲程序；并且事实上，有许许多多的观念与音乐理论（例如音调、乐句、音阶等）是交汇的，这些观念皆可直接运用于物理学，至少可以证明，有许多关系通过这种运用可以得到说明。
每一个构成，都是一种断言，每一次运算，都是对表象的一种否定，因为前者所获得的结果，在视觉上是给定的，后者所获得的结果，则是对表象的解决。也是因此，我们还会遇到这两种数学之间的另一个差别；研究小的事物的古典数学，处理的是具体的个例，产生的是一个一劳永逸的构成，而研究无穷的数学，处理的是全部种类的形式可能性，是函数、运算、方程式、曲线的群，并且所着眼的不是这些东西最终达致的任何结果，而是它们的进程。就这样，在最近的两个世纪里——尽管现今的数学家几乎没有意识到这一事实——逐渐地产生了数学运算的一般形态学的观念，我们在总体地论及近代数学的实际意义时，便可以证明这一点。所有这一切，正如我们将越来越明确地感觉到的，都是西方才智所固有的一般倾向的一种体现，这种倾向是浮士德精神和浮士德文化所固有的，在其他的精神和文化中是看不到的。我们的数学有为数众多的难题，这些难题常常被视作是“我们的”难题，如同如何把圆周化成正方形是希腊人的难题一样，——例如，无穷级数中的收敛（convergence）问题（柯西），把椭圆积分和代数积分转换成双周期的函数的问题［阿贝尔（Abel）、高斯］，这些问题，在追求简单、明确的定量结果的古代人看来，也许不过是相当艰深的高超技巧的一次展示罢了。其实，甚至今天的大众在心里也是这么认为的。根本就没有什么“大众”的近代数学，尽管它也包括有无穷远即距离的象征主义。所有伟大的西方作品，从《神曲》到《帕西伐尔》，都是非大众的，而古典的一切，从荷马史诗到帕加马（Pergamum）的祭坛，都是极其大众化的。
十五
因此，最后，西方数字思想的全部内涵，都集中到了浮士德式的数学中那个具有历史意义的“极限问题”（limit…problem）上了，这个问题是通向无穷的关键，而浮士德式的无穷，与阿拉伯人和印度人的世界观中的无穷是完全不同的。无论数字在特定情形中以什么样的伪装显现出来——无穷级数也好，曲线或函数也好，其真正的本质，都是极限的理论。这一极限，与古典的求圆面积的问题中所标示出来的（尽管没有这样称呼）极限，是绝对相反的。一直到18世纪，欧几里得几何中的流行的先入之见仍在混淆着当时的微分原理的真正意义。无穷小量的观念，可以说是唾手可得，可是，无论数学家们的处理有多么的娴熟，无穷小量的概念仍残留有古典常量的痕迹，仍有着数量大小的外貌，尽管欧几里得根本就不知道这个概念，也根本不承认无穷小量的存在。因此，零是一个常量，是从＋1到…1的线性连续体中的一个整数；可是，在欧拉的分析研究中，它却是一个绝大的难题。和他之后的许多人一样，欧拉要处理的是零的微分。只是到了19世纪，古典的数字感的这种遗迹才最终被消除，经由柯西对极限观念的明确阐述，微积分才获得了逻辑上的保障；只有当人们迈出理智的一步，从“无穷小量”转向“任何可能的确定量的最低极限”时，才产生出了在任何非零的可指定数的下面摆动的变数的概念。这种变数，已不再具有任何量的特征：就这样，最终由理论所表达出的极限，不再是对某一数值的趋近，而是其本身就是趋近，就是过程，就是运算。所以，极限不是一种状态，而是一种关系。并且因此，在我们的数学的这一决定性的难题中，我们突然间看到，西方心灵的构成是多么的具有历史性。
十六
把几何学从视觉的范畴中解放出来，把代数从量的观点中解放出来，然后在函数论的伟大结构中把两者结合在一起，超越图形与计算的所有基本局限——这便是西方数字思想的伟大进程。古典数学的常数消融于变数中。几何学成为解析性的，被消解了所有具体的形式；抽象的空间关系取代了数学的实体——严密的几何值便是从它那里获得的——这种空间关系到最后根本不能运用于感觉的、当下的现象中。至于欧几里得的视觉图形，亦被坐标系中任意选定的一个“原点”的几何轨迹所取代；几何客体的被假定的存在之客观性，亦被还原为一种条件，即在运算过程中（运算本身便是列等式的过程，而不是度量的过程），所选定的坐标系不应被改变。而这些坐标本身可直接视为是纯粹而简单的数值，其作用不是去决定，而是去代表或取代点作为空间元素的位置。数字作为既成之物的边界，不再像以前是历史地由一个图形来代表，而是由一个方程式来象征地代表。“几何学”的意义改变了；坐标系作为图象化的过程消失不见了，点成了一个完全抽象的数群。在建筑中，我们发现从文艺复兴到巴罗克的这一内在的转变，是通过米开朗基罗和维尼奥拉（Vignola）的创新完成的。视觉上纯粹的线条，在宫殿和教堂的立面上如同在数学中一样，变得无效