西方人的数，不是——如康德甚至赫尔姆霍兹（Helmholtz）所认为的——从作为一种先验的认知形式的时间中产生出来的某个东西，而是某个特别地具有空间性的东西，因为它是同类单位的一种秩序（或排列）。实际的时间（正如我们接下来将越来越明确地看到的）与数学的事物没有一丁点的关系。数唯一地只属于广延的领域。但是，恰如世上有多种文化一样，广延之物有秩序地展现的可能性及其必然性也有多种。古典的数是一种思维过程，但处理的不是空间关系，而是明显可限定的、实在的单位；由此可自然地和必然地得出这样一个认识：古典人知道的仅仅是“自然”数（正数和整数），相反，在我们西方人的数学中，自然数在复数、超复数、非阿基米德及其他数系中却只占一个极其不起眼的地位。
由此看来，无理数——即我们的记数法中十进位的不尽小数——的观念在希腊精神中被认为是不可思议的。欧几里得——我们应当对他有更全面的了解——说，不可公度的线条是“不能如数字那样彼此关联的。”事实上，无理数的观念一旦出现，便把数的概念和大小的概念分离开来了，因为这种数（例如π）的大小是不能以任何直线来界定或准确地表达的。进而，据此言之，在思考——比如说——正方形的边和对角线的关系时，希腊人必定会突然遇到一种完全不同的数，这种数对于古典心灵而言是全然陌生的，因此对它有一种恐惧，认为其存在本身的秘密一旦被揭开，将会招致灭顶之灾。有一则奇特而重要的晚期希腊传说，依据这一传说，第一个揭开无理数那深藏的奥秘的人必将死于非命，“因为那不可言传的、无形无态的秘密必须永远隐匿于人世。”
支撑这一传说的那种恐惧与希腊人的一种观念完全是同一的，那一观念阻止哪怕最成熟的希腊人为了在政治上更好地组织乡村而去扩展他们的微型城邦，阻止他们延伸街道直至景色的尽头，延伸小巷直至远景深处；那一观念使希腊人对时间有一种畏惧。并且又一次，它是来自巴比伦的天文学及其对无尽星空的透视。那一观念还使得希腊人不敢冒险沿海道走出地中海，直到很久之后，腓尼基人（Phoenicians）和埃及人才胆敢这么做。这是一种深沉的形而上的恐惧，因为这一恐惧，古典生存所牢守的那一在感觉上可理解的和在场的东西，突然陷入了崩溃，把它的宇宙秩序（主要地是由艺术来创造和维系的）投入了未知的原始深渊。因此，要想理解这一恐惧，就得理解古典数字的终极意义——即是与不可度量相对立的度量——就得把握古典数字的限度的高级伦理意义。歌德作为一个自然研究者，也感觉到了这一恐惧——因此他对数学有着一种近乎恐惧的反感，正如我们现在所看到的，实际上，他的这种恐惧乃是对非古典数学，即支撑他的时代的自然哲学的微积分，产生的一种不由自主的反应。
古典人的宗教感一度越来越强烈地集中于实际地在场的、地方化的祀拜上，因为只有它能表现欧几里得式的神世界。抽象的概念，或者说那些在思想的空间中漂浮不定的教条对于它是全然陌生的。这种祀拜与罗马天主教的一个教条，即偶像的塑像与教堂组织同在，有着诸多的共同点。毫无疑问，这种祀拜的某些方面就包含在欧几里得的数学中——例如，看一看毕达哥拉斯学派的秘密教义，看一看规则的多面体的定理及其在柏拉图学派中的神秘意义。如此言之，在笛卡儿对无穷的分析和同时代的教义神学之间，必定也存在深刻的关系，后者的发展经历了从宗教改革与反宗教改革的大决战到整个地非感觉化的自然神论。笛卡儿和帕斯卡尔都既是数学家，亦是詹森派信徒（Jansenists），莱布尼茨则同时是数学家和虔敬派信徒（Pietist）。伏尔泰（Voltaire）、拉格朗日（Lagrange）、达朗贝尔（D’Alembert）皆是同时代人。其实，古典心灵已感觉到了无理数的原则将会推翻整个数字体系井然有序的庄严排列，会推翻完整而自足的世界秩序，这些本身就是对神的一种不敬。在柏拉图的《蒂迈欧》中，这一感觉已明确无误地显示出来。因为，把一系列各自分离的数字转变为一个连续体，这不仅是对古典的数字观的挑战，而且是对古典的世界观本身的挑战，故此，我们可以理解，在古典数学中，甚至连负数——在我们看来，这根本没有什么概念上的困难——也被认为是不可能的，更别说把零当作一个数了。把零看作一个数，体现了奇妙的抽象能力那高超的创造力，印度心灵就把零看作是一种位置计数（positional numeration）的基础，零的观念正是了解印度人生存意义的关键。负量（negative magnitudes）根本就不存在。（…2）×（…3）=＋6，这种表达既不可想象，也不能表示量的大小。数量的系列终止于＋1，而在负数的图形表达（＋3、＋2、＋1、0、…1、…2、…3）中，从零之后突然出现了某个否定性的东西的肯定性象征；它们意味着某种东西，但它们不再是某种东西。但是，这一幕的完成不在古典的数字思维的方向之内。
因而，古典世界的醒觉意识的每一个产品，皆借由雕塑式的定义被提升到了现实性的层次。凡不能被描画出来的，便不是“数字”。阿基塔斯和欧多克斯（Eudoxus）采用面积数（surface…numbers）和体积数（volume…numbers）的概念来指谓我们所谓的二次方和三次方。很容易理解，更高的整次方（integral powers）的概念在他们看来是不存在的，因为对于那以立体感（plastic feeling）为基础的心灵而言，四次方立刻便意味着在四维空间中的一种扩展，意味着要与四种物质性的维度打交道，而这在他们看来是“荒谬的”。对于我们常用的那些表达，例如，甚至早在奥里斯梅（Oresme）（14世纪）时代的西方数学中就已使用的分数指数，例如51/2，在阿基塔斯和欧多克斯看来肯定是全然没有意义的胡说。欧几里得称因子的乘积即是边的乘积，而分数（当然是定分数）则被看作是两条线之间的整数关系。显然，从这里面，是不可能出现零作为数的概念，因为从一个画图人的角度看，这是没有意义的。具有不同心灵构造的我们不可以我们的习惯来论断他们的习惯，把他们的数学看作是“大数学”（Mathematics）发展的“第一步”。在古典人为自己扩展的世界里，并且就他们扩展那一世界的目标而言，古典数学是完整的——只是对我们而言，它才不是完整的。巴比伦人的数学和印度人的数学一直以来就包含着古典数字感认为毫无意义的东西——但又不是出于无知，因为许多希腊思想家对这些东西其实很熟悉——并将其作为他们的数字世界的本质要素。必须重复一遍，“大数学”是一个幻觉。一种数学的思维方式，或者一般地说，一种科学的思维方式，如果能完整地表达与之相匹配的生命感，那它就是正确的、可信的，就是一种“思想的必然”。否则，它就是不可能的、无用的、没有意义的，再不，正如我们在我们的傲慢的历史心灵中常常说的，就是“原始的”。近代数学尽管只对西方精神而言是“正确的”，但也不容否认的是，它是这一精神的主导产品；不过，对于柏拉图而言，它必定是对通向“真实”——通向智慧，古典的智慧——的道路亦即数学的不可思议的和可怕的偏离。对于我们自己来说，希腊人的数学也是如此。坦白地说，我们对大量属于其他文化的伟大观念几乎是一无所知，我们容许这样的失误，是因为我们的思维及其局限还不允许我们去同化它们，或者说（其实是一回事），我们的思维及其局限使我们将它们看作是虚假的、多余的和无意义的东西而加以拒绝。
第二章 数字的意义（2）
六
希腊数学，作为一种有关可感知的量的科学，蓄意把自己限定在可理解的当下在场的事实上，把它的研究和这些研究的有效性局限在近旁的小事物上。与这一数学无懈可击的一致性相比较，西方数学的立场被认为实际上有点非逻辑的味道，尽管只是自非欧几何发现以来，这一事实才真正地被认识到。数是完全非感觉化的理解的意象，是纯粹思想的意象，其本身之中就包含有抽象的有效性。因此，数能否确实地运用于意识经验的现实性，这本身便是一个问题，并且是一个不断地被重新提出而从未获得解决的问题，而数学体系与经验观察之间的符合，在目前还只能视作是自明的。尽管门外汉的观念——例如在叔本华身上所看到的——认为数学有赖于感官的直接证据，但欧几里得几何学——虽则表面上看，其与所有时代通行的几何学是同一的——与现象世界仅仅是近乎吻合，且是在非常狭窄的范围内——事实上是在画图板的范围内——才近乎吻合。扩大这些范围，则——例如——欧几里得的平行线将会变成什么？它们会在地平线上相交——我们一切的艺术透视就是建立在这一简单的事实之上的。
因此，康德是一位西方思想家，他回避了有关距离的数学，而诉诸一组数字例证，而对于它们的绝对细分，他认为尤其不能用西方的无穷小的方法来处理，他这样做并不矛盾。但是，欧几里得是一位古典时代的思想家，当他禁止通过参照——比如说——由一个观察者和两个无穷远的恒星所构成的三角形来证明他的公理的现象真理时，这与古典时代的精神是完全一致的。因为这些东西既不能被画出来，又不能“直观地领会到”，他的感受恰恰是害怕无理数的感受，是不敢给予像零这样的虚无以一个价值（例如，说它是一个数），甚至在沉思宇宙关系时也不敢直视无穷大，而只能固守着它的比例的象征的感受。
萨摩斯岛（Samos）的阿里斯塔库斯在公元前288至前277年间属于亚历山大里亚的天文学家圈子，这个圈子无疑与迦勒底…波斯学派有关系；阿里斯塔库斯曾提出了一个日心说的世界体系。经过哥白尼（Copernicus）的再发现，这一日心说的体系将动摇西方人的形而上情感的基础——乔尔丹诺·布鲁诺即是明证——将成为强有力的预兆的完成，并将证明浮士德式和哥特式的世界感，这种世界感早已经通过哥特式大教堂的形式而体现了对无限的信仰。但是，阿里斯塔库斯当时的世界对他的著作根本漠不关心，因此很短的时间里就被遗忘了——我们可以推测，这是故意的。他的为数不多的追随者几乎全都是小亚细亚的本土人，其中最著名的支持者塞琉古（Seleucus）（约公元前150年）来自底格里斯河流域的波斯的塞琉西亚（Seleucia）。事实上，阿里斯塔库斯的体系在精神上根本没有诉求于古典文化，它其实对后者构成为一种威胁。不过，这一体系与哥白尼的体系在某个方面有根本的不同（这一点常常被人忽视了），正是这个方面使得前者完全符合古典的世界感，那就是：它假定，宇宙是包含在一个物质上有限和视觉上可感的球状虚空（hollow sphere）中的，在这球状虚空的中间是行星系统，其排列和运行正如哥白尼的路线。在古典天文学中，地球和天空中的其他星体被一致地认为是两种不同的实体，不论对其运动的具体细节的解释是多么的多样。同样地，相反的观念认为，地球只是众星体中的一种，这一观念本身与托勒密式的体系或哥白尼式的体系并非格格不入，事实上，它的真正先锋是尼古拉·库萨（Nicolaus Cusanus）和列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）。但是，由于天球（celestial sphere）这一概念的发明，那本来可能危及感受性的古典文化的有边界的观点的无穷大原则便被掩盖了。也许有人会认为，无穷大的概念是阿里斯塔库斯的体系所必然隐含的——而事实上，早在他的时代之前，巴比伦的思想家就已经抵达了这个概念。但希腊全无此等思想出现。相反，在阿基米德著名的有关沙粒的论文中，他证明说，用沙粒填满一个立方体的物体（这根本上就是阿里斯塔库斯的宇宙），便可得到一个非常高但决不是无穷的图象结果。他的这一命题尽管一再被引用，认为是向积分学迈出的第一步，但其本身原是对我们所谓的“分析”概念的一种否定（实际上，在论文的标题中就已经隐含了这一点）。在我们的物理学中，不断出现的一种有关物质性的（或者说可直接感知的）以太的假设，一次又一次地与我们拒绝承认任何物质性的边界的做法相冲突；欧多克斯、阿波罗尼乌斯（Apollonius）和阿基米德当然是最敏锐、最大胆的古典数学家，他们主要用直尺和圆规，对既成之物完全地进行纯视觉的分析，而其基础，便是古典的雕塑式的边界概念。他们运用经过深思熟虑而得出的（可对我们来说几乎是不可理解的）求积的方法，但这些方法与莱布尼茨的定积分方法甚至只有表面的相似。他们也运用几何轨迹和坐标系，但这些通常都是度量的一些被明确的长度和单位，而不是——如同在费马（Fermat）、尤其是在笛卡儿那里——未被明确的空间关系，不是依据点在空间中的位置而定的点的价值。在所有这些方法中，还要特别地提一下阿基米德的穷竭法（exhaustion method），在最近发现的阿基米德致厄拉多塞尼（Eratosthenes）的信中，他论及了用内接矩形（而不是相似的多边形）求抛物面的截面积的方法。但是，这一极端精密复杂的方法，仍是基于柏拉图的某些几何学观念，虽然表面上与帕斯卡尔的方法有可类比之处，但两者之间还是有极大的不同。其与黎曼的积分观念也截然相异。那么，阿基米德的这些观念与今日所谓的求面积法有着何样的尖锐对立？阿基米德的方法本身，如今不过是一种不幸的残余，它所谓的“表面”（surface），如今已被代之以“封闭函数”（bounding function），而它所用的描画法（drawing），如今也已经消失。古典和西方的数学心灵彼此间从未像在此例中如此的接近过，也从未像在此例中如此明显地显示出这两种心灵之间的隔阂之深，根本不可能彼此沟通。
在其早期建筑的立体风格中，埃及人可以说隐藏了纯粹的数字，他们害怕突然触及到数字的秘密，而对于希腊人而言，数字也是既成之物、僵硬之物、有限之物的意义的关键。石像和科学体系否定了生命。数学的数字，现象性的生存——它只是醒觉的人类意识的派生物和仆人——所依存的广延世界的形式原则，带有因果必然性的标记，因此与死亡是联系在一起的，如同编年学的数字是与生成、生命、命运的必然性联系在一起的一样。严密的数学形式与有机存在的终结、与有机存在的有机剩余物即肉体的现象之间的这种联系，我们将越来越明确地看作是所有伟大艺术的源头。我们已经注意了丧葬器物和棺木的早期装饰的发展。数字是死亡的象征。刻板的形式是生命的否定，公式和定律把死板板的谨严性散播在自然的面孔上，数字制造了死亡——在《浮士德》第二部中，“女神们”端坐在宝座上，庄严而又隐忍，她们唱道：
奇幻难形笔楮，
焕然竟成文章；
永恒女性自如常，
接引我们向上。
在对终极的奥秘作如此的神圣化时，歌德与柏拉图非常相近。因为他的不可接近的女神们就是柏拉图的理念——是一种�