从先验的观点来看，丝毫不能肯定这次测量的结果会与第一次在火车车厢中
测量的结果完全一样。因此，在路基上量出的火车长度可能与在火车上量出的火车长度不同，这种情况使我们有必要对第6节中从表面上看来是明白的论述提出第二个不同意见。就是，如果在车厢里的人在单位时间内走了一段距离w（在火车上测量的），那么这段距离如果在路基上测量并不一定也等于w。
11．洛伦兹变换
上面最后三节的结果表明，光的传播定律与相对性原理的表面抵触（第7节）是根据这样一种考虑推导出来的，这种考虑从经典力学借用了两个不确当的假设；这两个假设就是：
（1）两事件的时间间隔（时间）与参考物体的运动状况无关。
（2）一刚体上两点的空间间隔（距离）与参考物体的运动
如果我们舍弃这两个假设，第7节中的两难局面就会消失，因为第6节所导出的速度相加定理就失效了，看来真空中光的传播定律与相对性原理是可以相容的，因此就产生这样的问题：我们必须如何修改第6节的论述以便消除这两个基本经验结果之间的表面矛盾，这个问题导致了一个普遍性问题。在第6节的讨论中，我们既要相对于火车又要相对于路基来谈地点和时间，如果我们已知一事件相对于铁路路基的地点和时间，如何求出该事件相对于火车的地点和时间呢？对于这个问题能否想出能使真空中光的传播定律与相对性原理不相抵触的解答，换言之：我们能否设想，在各个事件相对于一个参考物体的地点和时间与各该事件相对于另一个参考物体的地点和时间之间存在着这样一种关系，使得每一条光线无论相对于路基还是相对于火车，它的传播速度都是c呢？这个问题获得了一个十分明确的肯定解答，并且导致了用来把一个事件的空一时量值从一个参考物体变换到另一个参考物体的一个十分明确的变换定律。
在我们讨论这一点之前，我们将先提出需要附带考虑的下列问题。到目前为止，我们仅考虑了沿着路基发生的事件，这个路基在数学上必须假定它起一条直线的作用。如第2节所述，我们可以设想这个参考物体在横向和竖向各予补充一个用杆构成的框架，以便参照这个框架确定任何一处发生的事件的空间位置。同样，我们可以设想火车以速度”继续不断地横亘整个空间行驶着，这样，无论一事件有多远，我们也都能参照另一个框架来确定其空间位置。我们尽可不必考虑
这两套框架实际上会不会因固体的不可入性而不断地相互干扰的问题；这样做不致于造成任何根本性的错误，我们可以设想，在每一个这样的框架中，划出三个互相垂直的面，称之为“坐标平面”（在整体上这些坐标平面共同构成一个“坐标系”）。于是，坐标系K对应于路基，坐标系K’对应于火车。一事件无论在何处发生，它在空间中相对于K的位置可以由坐标平面上的三条垂线x；y；z来确定，时间则由一时间量值：来确定，相对于K'，此同一事件的空间位置和时间将由相应的量值x'；y'；z'；t'来确定，这些量值与x；y；z；t当然并不是全等的。关于如何将这些量值看作为物理测量的结果，上面己作了详细的叙述。 ZZ'yxy'x'VVVKK'图 2
显然我们面临的问题可以精确地表述如下，若一事件相对于K的x；y；z；t诸量值为何？在选定关系式时，无论是相对于K或是相对于K’，对于同一条光线而言（当然对于每一条光线都必须如此）真空中光的传播定律必须被满足。若这两个坐标系在空间中的相对取向如图2所示，这个问题就可以由下列议程组解出： 221evvtxx？？=′
yy=′
zz=′ 2221cvxcvtt？？？=′
这个议程组称为“洛伦兹变换”。
如果我们不根据光的传播定律，而根据旧力学中所隐含的时间和长度具有绝对性的假定，那么我们所得到的就不会是上述方程组，而是如下的方程组：
vtxx？=′
yy=′
zz=′
tt=′
这个方程组称为“伽利略变换”，在洛伦兹变换方程中，我们如以无穷大值代换光速c，就可以得到伽利略变换方程。
通过下述例示，我们可以很容易地看到，按照洛伦兹变换，无论对于参考物体K还是对于参考物体K’，真空中光的传播定律都是被满足的。例如沿着正x轴发出一个光信号，这个光刺激按照下列方程前进
ctx=
亦即以速度c前进。按照洛伦兹变换方程，x和t之间有了这个简单的关系，则在x’和t’之间当然也存在着一个相应的关系，事实也正是如此：把x的值ct代入洛伦兹变换的第一个和第四个方程中，我们就得到：
221）（cvtvcx？？=′ 221）1（cvtcvt？？=′
这两方程相除，即直接得出下式：
tcx′=′
亦即参照坐标系K’，光的传播应当按照此方程式进行，由此我们看到，光相对于参考物体K’的传播速度同样也是等于c。对于沿着任何其他方向传播的光线我们也得到同样的结果。当然，这一点是不足为厅的，因为洛伦兹变换议程就是依据这个观点推导出来的。
12．量杆和钟在运动时的行为
我沿着K’的x’轴放置一根米尺，令其一端（始端）与点x’=0重合，另一端（末端）与点x’=1重合。问米尺相对于参考系K的长度为何？要知道这个长度，我们只须求出在参考系K的某一特定时刻t、米尺的始端和末端相对于K的位置。借助于洛伦兹变换第一方程，该两点在时刻t=0的值可表示为 2210cvx？=（米尺始端） 2211cvx？=（米尺始端）
两点间的距离为221cv？。但米尺相对于K以速度度v运动。因此，沿着其本身长度的方向以速度v运动的刚性米尺的长度为221cv？米。因此刚尺在运动时比在静止时短，而且运动得越快刚尺就越短。当速度v=c，我们就有221cv？=0，对于较此更大的速度，平方根就变为虚值，由此我们得出结论：在相对论中，速
度c具有极限速度的意义，任何实在的物体既不能达到也不能超出这个速度。
当然，速度c作为极限速度的这个特性也可以从洛伦兹变换方程中清楚地看到，因为如果我们选取比c大的v值，这些方程就没有意义。
反之，如果我们所考察的是相对于K静止在x轴上的一根米尺，我们就应该发现，当从K’去判断时，米尺的 长度是221cv？，这与相对性原理完全相合，而相对性原理是我们进行考察的基础。
从先验的观点来看，显然我们一定能够从变换方程中对量杆和钟的物理行为有所了解，因为x；y；z；t诸量不多也不少正是借助于量杆和钟所能获得的测量结果。如果我们根据伽利略变换进行考察，我们就不会得出量杆因运动而收缩的结果。
我们现在考虑永久放在K’的原点（x’=0）上的一个按秒报时的钟。t和 0=′
1=′t 对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒洛伦兹变换的第一和第四议程给出：
0=t
和 2211cv？=t
从K去判断，该钟以速度v运动；从这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是1秒，而是2211cv？秒，亦即比1秒钟长一些。该钟因运动而比静止时走得慢了。速度c在这里也具有一种不可达到的极限速度的意义。
13．速度相加定理 斐索实验
在实践上我们使钟和量杆运动所能达到的速度与光速相比是相当小的；因此我们不大可能将前节的结果直接与实在的情况比较。但是，另一方面，这些结果必然会使读者感到十分奇特；因此，我将从这个理论再来推出另外一个结论，这个结论很容易从前面的论述中推导出来，而且这个结论已十分完善地为实验所证实。
在第6节我们推导出同向速度相加定理，其所取形式也可以由经典力学的假设推出。这个定理也可以很容易地由伽利略变换（第11节）推演出来。我们引进相对于坐标系K’按照下列方程运动的一个质点来代替在车厢里走动的人
twx′=′
借助于伽利略变换的第一和第四方程，我们可以用x和t来表示x’和t’，我们得到其间的关系式
twvx）（＋=
这个方程所表示的正是该点相对于坐标系K的运动定律（人相对于路基的运动定律）。我们用符号W表示这个速度，象在第6节一样，我们得到
wvW＋=
但是我们同样也可以根据相对论来进行这一探讨。在方程
twx′=′
中我们必须引用洛伦兹变换的第一和第四方程借以用x和t来表示x’和t’。这样
我们得到的就不是方程（A），而是方程 21cvwwvw＋＋=
这个方程对应于以相对论 为依据的另一个同向速度相加定理。现在引起的问题是这两个定理哪一个更好地与经验相符合。关于这个问题，我们可以从杰出的物理学家斐索在半个多世纪以前所做的一个极为重要的实验上得到启发，这个实验在后来曾由一些最优秀的实验上得到启发，这个实验在后来曾由一些最优秀的实
验物理学家重新做过，因此，这个实验的结果是无可怀疑的。这个实验涉及下述问题。光以特定速度w在静止的液体中传播。现在如果上述液体以速度v在管T内流动，那么光在管内尚箭头（图3）所指方向的传播速度有多快呢？ TV图 3
按照相对性原理，我们当然必须认定光相对于液体总是以同一速度w传播的，不论此液体相对于其他物体运动与否。因此，光相对于液体的速度和液体相对于管的速度皆为已知，我们需要要求出光相对于管的速度。
显然我们又遇到了第6节所论述的问题。管相当于铁路路基或坐标系K，液体相当于车厢或坐标系K’，而光则相当于沿着车厢走动的人或本节所引进的运动质点。如果我们用W表示光相对于管的速度，那么W就应按照方程（A）或方程（B）计算，视伽利略变换符合实际还是洛伦兹变换符合实际而定。实验①作出的决定是支持由相对论推出的方程（B），而且其符合的程度的确是很精确的，根据塞曼最近所作的极其卓越的测量，液体流速v对光的传播的影响确实可以用公式（B）来表示，而且其误差恒在百分之一以内。
然而我们必须注意到这一事实，即早在相对论提出以前，洛伦兹就已经提出了关于这个现象的一个理论。这个理论纯属电动力学性质，并且是引用关于物质的电磁结构的特别假说而得出的。然而这种情况丝毫没有减弱这个实验作为支持相对论的判决试验的确实性，因为原始的理论是由麦克斯韦…洛伦兹电动力学建立起来的，而后者与相对论并无丝毫抵触之处。说得更恰当些，相对论是由电动力学发展而来的，是以前相互独立的用以组成电动力学本身的各个假说的一种异
常简明的综合和概括。
14．相对论的启发作用
我们在前面各节的思路可概述如下。经验导致这样的论断，即一方面相对性原理是正确的，另一方面光在真空中的传播速度必须认为等于恒量c。把这两个公设结合起来我们就得到有关构成自然界过程诸事件的直角坐标x；y；z和时间t在量值上的变换定律，关于这一点，与经典力学不同，我们所得到的不是伽利略变换，而是洛伦兹变换。
在这个思考过程中，光的传播定律——这是根据我们的实际知识有充分理由加以接受的一个定律——起了重要的作用。然而一旦有了洛伦兹变换，我们就可以把洛伦兹变换和相对性原理结合起来，并将得出的理论总括如下：
每一个普遍的自然界定律必须是这样建立的，若我们引用新的坐标系K’的空时变量x'；y'；z'；t'来代替原来的坐标系K的空时变量x；y；z；t；则经过变换以后该定律仍将取与原来完全相同的形式。这里，不带撇的量和带撇的量之间的关系就由洛伦兹变换公式来决定。或简言之，普遍的自然界定律对于洛伦兹变换是协变的。
这是相对论对自然界定律所要求的一个明确的数学条件。因此，相对论在帮助探索普遍的自然界定律中具有宝贵的启发作用。反之，如果发现一个具有普遍性的自然界定律并不满足这个条件的话，就证明相对论的两个基本假定之中至少有一个是不正确的。现在让我们来看一看到目前为止相对论已确立了哪些普遍性结果。
15．狭义相对论的普遍性结果
我们前面的论述清楚地表明，（狭义）相对论是从电动力学和光学发展出来的。在电动力学和光学的领域中，狭义相对论对理论的预断井未作多少修改；但狭义相对论大大简化了理论的结构，亦即大大简化了定律的推导，而且更加重要得多的是狭义相对论大大减少了构成理论基础的独立假设的数目．狭义相对论使得麦克斯韦一洛伦兹理论看来好象很合理，以致即使实验没有明显地予以支持，这个理论也能力物理学家普遍接受。
经典力学需要经过修改才能与狭义相对论的要求取得一致。但是此种修改大
体上只对物质的速度。比光速小得不多的高速运动定律有影响。我们只有在电子和离于的问题上才能遇到这种高速运动；对于其他运动则狭义相对论所得结果与经典力学定律相差极微，以致在实践中此种差异未能明确地表现出来。在我们未开始讨论广义相对论以前，将暂不考虑星体的运动。按照相对论，具有质量m的质点的动能不能再由众所周知的公式
x′22vm
来表达，而是应由另一公式 2221cvmv？
来表达。当速度v趋近于光速c时，此式趋近于无穷大。因此，无论用于产生加速度的能量有多大，速度v必然总是小于c。若将动能的表示式以级数形式展开，即得 。。。。8322422＋＋＋cvmvmmc
若22cv与1相比时相当微小，上式第三项与第二项相比也总是相当微小，所以在经典力学中一般不予计入而只考虑其中的第二项。第一项并不包含速度v，若我们只讨论质点的能量如何依速度而变化的问题，这一项也就无需加以考虑。我们将在以后再叙述它的本质上的意义。 2mc
狭义相对论导致的具有普遍性的最重要的结果是关于质量的概念。在相对论创立前，物理学确认两个具有基本重要性的守恒定律，即能量守恒定律和质量守恒定律；过去这两个基本定律看来好象是完全相互独立的。借助于相对论，这两个定律己结合为一个定律。我们将简单地考察一下此种结合是如何实现的，并且会具有什么意义。
按照相对性原理的要求，能量守恒定律不仅对于坐标系K是成立的，而且对于每一个相对于K作匀速平移运动的坐标系K’也应当是成立的，或简言之，对于每一个“伽利略”坐标系都应该能够成立，与经典力学不同，从一个这样的坐标系过渡到另一个这样的坐标系时，洛伦兹变换是决定性的因素。
通过较为简单的探讨，我们就可以根据这些前提并结合麦克斯韦电动力学的基本方程得出以下结论，若一物体以速：度v运动，以吸收辐射的形式吸收了相当的能量E0，在此过程中并不变更它的速度，则该物体国吸收而增加的能量将为 2201cvE？
考虑上述的物体动能表示式，就得到所求的物体的能量为 222201cvccEm？？？？？？？？？＋
这样，该物体所具有的能量就与一个质量为？？
？
？？＋20cEm？？
？ 、并以速度U运动的物体所具有的能量一样。因此我们可以说。若一物体�